| 研究課題/領域番号 |
21K13781
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
板場 綾子 東京理科大学, 教養教育研究院葛飾キャンパス教養部, 講師 (10801178)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
2,470千円 (直接経費: 1,900千円、間接経費: 570千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | AS 正則環 / コシュール多元環 / Calabi-Yau 多元環 / Beilinson 多元環 / 非可換射影スキーム / AR クイバー / AS-regular 代数 / 非可換射影平面 / Hochschild コホモロジー環 / Auslander-Reiten クイバー |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究課題では、代数学の非可換環論の研究分野である、非可換代数幾何学および多元環の表現論の両分野にまたがる圏論視点での研究を行う。
一つ目の目的は、非可換代数幾何学の考察対象である3次元quadratic AS-regular 代数のBeilinson 多元環上のsimple 2-regular module とよばれる多元環の表現論における研究対象は、幾何的な特徴を持つのだろうかをという問いを解決することである。
二つ目の目的は、次数付き有限次元多元環に対する有限生成条件(Fg)は、圏論的な不変量になっているのだろうかという問いの解決を目指すことである。
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| 研究実績の概要 |
全ての3次元quadratic AS正 則環Aに対して、本研究の意味での「非可換射影平面(Aに付随する非可換射影スキーム)が中心上有限生成になること」と、幾何の自己同型のノルムという概念が 有限であることが同値であることを示した。Aが中心上有限生成であることと、幾何の自己同型の位数が有限であることが同値であることを、Artin-Tate-Van den Bergh が証明したが、この研究の結果は彼らの結果の圏論的な意味での拡張であるといえる。さらに、幾何の自己同型のノルムが1また は無限大であることと, 非可換射影平面がfat point とよばれるA上の加群を持たないことと, 多元環の表現論の考察対象である、Aに対応するBeilinson algebra 上のsimple regular moduleの同型類が射影平面内のでパラメトライズされることが同値であることを得た。
本年度は本研究課題の1つのテーマの完成に向けた研究に取り掛かかることができた。3次元quadratic AS正則環 Aに対応するBeilinson algebra のAuslander- Reiten 理論での振る舞いを考察し, 多元環の表現論の手法を用いてAR-quiver におけるregular module を考察し，先行研究で射影平面内の3つの直線が1点で交わる幾何と対応する幾何的代数(Type S) のときに regular module たちは AR-quiver の中で幾何でパラメトライズされることが証明されているが，さらにこれらはAに対応するBeilinson algebra 上のsimple regular module がIyama-herschend-Oppermannの意味での2-representation tame 型であることが同値であることを射影平面内の3つの直線が三角形 をなすときに対応する幾何的代数(Type S')の場合に成り立つことを証明することに成功した。これはType S'の幾何的代数の中心の生成元を計算によって具体的に特定し、このことを理論的なことを組み合わせることで証明を得ることができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題の中心テーマのひとつに関した結果を得て、こちらの投稿準備を行うことができたためである。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究の推進方策は、本研究課題のテーマの完成に向けた研究に取り掛かる。3次元quadratic AS正則環 Aに対応するBeilinson algebra のAuslander- Reiten 理論での振る舞いを考察し, 多元環の表現論の手法を用いてAR-quiver におけるregular module を考察し， regular module たちは AR-quiver の中で幾何でパラメトライズされることが証明したが、
さらにこれらはAに対応するBeilinson algebra 上のsimple regular module がIyama-herschend-Oppermannの意味での2-representation tame 型であることが同値であることを予想し、本年度はType S'の場合について解決した。次年度は他の残りのケースでもAの中心の生成元を特定し、さらに上記の予想の解決の完成に向ける。
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