| 研究課題/領域番号 |
21K13785
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
今野 北斗 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (20845614)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2024年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2023年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | Seiberg-Witten方程式 / 族のゲージ理論 / 4次元多様体 / 微分同相群 / 群作用 / 同相群 / コンタクト構造 / ゲージ理論 / Yang-Mills反自己双対方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ゲージ理論を境界付き4次元多様体の族に対して展開する．これは，私がこれまで国内外の共同研究者の協力を得つつ取り組んできた閉4次元多様体の族のゲージ理論の拡張となると予想される．より具体的には，境界付き4次元多様体の滑らかな族に対するゲージ理論的な制約を得るのが理論的な目標となる．そのために，Floer理論的な構成を3次元多様体の族に対して行い，またそこに値を持つ境界付き4次元多様体の族の相対不変量をも定義する必要がある．
期待される応用は，3次元多様体の族や3次元多様体上の群作用が，それを境界として持つ4次元多様体の族やその上の群作用に滑らかに拡張するための障害の構成である．
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| 研究実績の概要 |
4次元多様体内の余次元 1 の部分多様体や埋め 込みに対し，エキゾチックな対を多く検出し，さらにいかなる4次元多様体の連結和による安定化の操作を行ってもこれらのエキゾチック性が消えないことを示した (Anubhav Mukherjee 氏・ 谷口正樹氏との共同研究)．これは，以前谷口正樹氏と私が証明した境界付き4次元多様体の族に対するゲージ理論的な制約(Froyshov不等式のひとつの族版)の応用である．
また，Froyshov不等式のひとつの族版を応用して，比較的小さい4次元多様体に対する種々のエキゾチックな現象を検出できることを示した(Abhishek Mallick氏・谷口正樹氏との共同研究)．検出できるエキゾチックな現象とは，例えば，エキゾチックな4次元多様体，（強い意味での）コルク，上で述べたMukherjee氏・谷口氏との共同研究とは異なるエキゾチックな余次元1の埋め込みである．さらに，4次元多様体の微分同相の交叉形式への作用に対するSeiberg-Witten 方程式のcharge conjugation symmetry由来の新たな制約も見いだした．
さらに，以前宮澤仁氏・谷口正樹氏と行っていた involuton の乗ったスピン 4 次元多様体に対する"実"Seiberg-Witten Floer 理論を，適当な条件の下で非スピンな場合に拡張した(宮澤仁氏・ 谷口正樹氏との共同研究)．これを用いて4次元多様体上の群作用・4次元多様体内の向き付け不能曲面に対する非存在定理，非スピン4次元多様体に対するNielsen 実現問題に応用を与えた.
また，標準的なコンタクト構造を持つS^3内のLegendrianリンクを境界に持つ4次元多様体内の滑らかな曲面に対する種数の評価を与えた（飯田暢生氏・谷口正樹氏との共同研究）．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
様々な方向の新しい研究を行うことができた．特に，既に確立していた族のFroyhov不等式を，エキゾチック4次元多様体の検出に用いることができたのは予想外のことであった．一方，継続して考察を続けている，境界付き4次元多様体の族であって境界への制限が非自明な族となる場合について，重要な具体例の計算が進みつつあるが，まだ論文が完成していない．
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き，境界への制限が非自明な族となるような境界付き4次元多様体の族についての研究を推進する必要がある．理論的な枠組み，定式化に目処が立ちつつあるので，具体例の計算と応用を進めていく予定である．
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