| 研究課題/領域番号 |
21K13787
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 新潟大学 |
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研究代表者 |
折田 龍馬 新潟大学, 自然科学系, 助教 (30874531)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
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| キーワード | Topological complexity / パーシステンス加群 / シンプレクティック多様体 / Morse理論 / Floer理論 / 4次元多様体 / ロボットモーションプランニング / 位相的複雑さ |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ロボットモーションプランニングとは，機械（ロボット）を，ある状態 A から別の状態 B へと連続的に動作させるアルゴリズムを構築することである。
Farber は，ロボットの全ての状態の空間（配位空間）X に対して位相的複雑さ (topological complexity) という整数を定義した。
位相的複雑さの計算は，ロボットの動作の不安定性の予測に役立てられる。
本研究では，シンプレクティック多様体の位相的複雑さの決定を目指す。
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| 研究実績の概要 |
Topological complexityは，ロボットモーションプランニングの問題意識から生まれた状態空間の位相不変量である。昨年度までは，4次元の本年度は球面状単調かトーラス状単調なシンプレクティック多様体に対して計算結果を与えた。本年度は，一般次元でも計算ができるための十分条件を与えた。内容は arXiv にて発表済みである。
また，位相的データ解析のパーシステンス加群の研究も行った。通常の（1パラメータの）パーシステンス加群は，各点有限次元であれば1次元のバーコードを持つ。しかし，一般のマルチパラメータのセッティングでは，常に高次元のバーコードを持つとは限らない。
本研究では，インターレベルのMorseホモロジーから定義される2パラメータのパーシステンス加群が，ブロック分解可能であることを示した。特に，ブロックからなる2次元バーコードを持つことを示した。そのシンプレクティック幾何学への応用として，非球面状なシンプレクティック多様体上のハミルトンベクトル場が，非可縮周期軌道を1つ持てば無限個もつことの既存の証明の新たな解釈を与えた。これはインターレベルのFloerホモロジーを用いたものである。本研究は小枝幹汰，矢代海音両氏（新潟大学）との共同研究である。内容は arXiv にて発表済みである。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
2パラメータのパーシステンス加群のバーコードに関して，重大な結果が得られたため。
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度は，インターレベルのMorseホモロジーから定義される2パラメータのパーシステンス加群が，ブロック分解可能であることを示した。ブロックは，無限の面積をもつ長方形である。一方で，有限の面積のバーコードをもつ2パラメータパーシステンス加群が，Floer型の理論から定義されるかは未解決である。今後は，そのことについて研究を深め，位相的データ解析において一定の成果を挙げることを目指す。
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