symplectic field theory の応用

• 研究課題/領域番号: 21K13789
• 研究種目: 若手研究
• 配分区分: 基金
• 審査区分: 小区分11020:幾何学関連
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 石川 卓 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (70845742)
• 研究期間 (年度): 2021-04-01 – 2026-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2023年度)
• 配分額: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円); 2025年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円); 2024年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円); 2023年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円); 2022年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円); 2021年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
• キーワード: symplectic field theory / contact homology

研究開始時の研究の概要

Symplectic field theory (SFT)とは、contact 多様体やその間の symplectic cobordism に対する、Gromov-Witten 不変量や Floer homology に相当するものであり、その構成を私は行った。これを応用するためには SFT を計算、評価する方法を確立することが必要であるが、SFT 全体の計算は一般には非常に困難である。本研究はより現実的な手法として SFT そのものではなくそこから capacity 等のような、より情報の少ない不変量を定義し、その計算評価を用いて応用することを目指すものである。

研究実績の概要

本研究の最終的な目標は、symplectic field theoy や contact homology をできるだけ多くの具体的なcontact 多様体に対して計算、評価する方法を構築することと、それを用いた応用である。当該年度でも、引き続き、最も単純な contact 多様体の一つである球面の contact homology に関連する計算を行った。標準的な球面の contact homology 自体は計算されており、contact 構造が同じならば contact form を変えても contact homology 自体は同型ではある。例えば標準的な contact form を ellipsoid に入れたもののも球面と contact 構造は同型だが、この場合には、ellipsoid の各周期解をそのまま contact homology の生成元として表示することができる。ellpipsoid の成分ごとの半径を変えればその新しい周期解たちにより球面の contact homology を表示できるが、ellipsoid の半径が異なれば、この表示が同じになるとは限らない。この表示の下で同型がどのように表示されるのかを cobordism から得られる symplectic field theory の解析によって調べている。

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

球面の contact homology 自体は単純に表示できるので、それらの間の関係も比較的単純に計算できるであろうと考えて研究を始めたが、実際に行ってみると想定よりも難しく、やや時間がかかっている。とはいえ研究は徐々に進んでいるので、もう少し時間をかければ解明できると思われる。

今後の研究の推進方策

前年度に引き続き、球面の contact homology とその間の cobordism に関する計算を行う予定である。順序としてはまず異なる ellipsoid による表示同士の関係を計算し、そののちに球面の連結和の定める symplectic cobordism の contact homology の計算を行う予定である。これらが終了後、まずはこの計算結果の応用を研究する。その後はより一般の場合の contact homology や symplectic field theory へと広げていく予定である。