| 研究課題/領域番号 |
21K13792
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
竹内 有哉 筑波大学, 数理物質系, 助教 (60899087)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2023年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2022年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | CR多様体 / CR山辺の問題 / 漸近的双曲空間 / Graham-Wittenエネルギー / Q-prime曲率 / 繰り込み接続 / 球面的CR多様体 / Kohn-Rossiコホモロジー / CR Q-曲率 / 共形多様体 / はめ込み |
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| 研究開始時の研究の概要 |
幾何学において，与えられた空間への特別なはめ込みを発見し，それらを分類することは基本的な問題である．本研究の目標はこの問題を共形（CR）多様体と呼ばれる空間の場合に考察することである．そのために，まず共形（CR）多様体へのはめ込みに対する「エネルギー」を，漸近的（複素）双曲空間を用いることで構成する．この構成には，与えられたはめ込みをDirichlet境界条件とする漸近的極小はめ込みの重み付き面積を用いる．さらにこの「エネルギー」の臨界点となるはめ込みの特徴づけを行う．この部分については放物型幾何学の手法であるトラクター解析を応用することを考えている．
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| 研究実績の概要 |
共形多様体・CR多様体について研究を行っている．本年度の主な研究成果は以下の通りである．
(1) CR山辺定数とCR構造：共形幾何における山辺定数は共形構造の変形について連続であり，3次元以上の場合には山辺定数が実際に変化する変形族が必ず存在する．また3次元以上の多様体には山辺定数が負であるような共形構造が必ず存在する．一方でCR山辺定数はCR構造に可積分性を課しているために共形幾何のような自由な変形が許されない．本年度はChanyoung Sung氏との共同研究でKahler-Einstein多様体上の円周束に対してCR山辺定数が実際に変化する変形族を構成した．さらにCR山辺定数の符号が異なるCR構造をもつ多様体の具体例を構成した．その構成には複素射影平面の8点ブローアップとBarlow曲面に関する結果を用いた．
(2) 特殊Einstein積への極小はめ込み：特殊Einstein積とはEinstein多様体の積として得られるRiemann多様体であって，二つのEinstein定数がある関係を満たすものである．この多様体を境界にもつ漸近的双曲多様体はEinstein計量とEinstein定数を用いて具体的に構成することができる．本年度の研究ではEinstein多様体への極小はめ込み同士の積がGraham-Wittenエネルギーの臨界点になることを確認した．また本年度に出たプレプリントの結果を用いることで第二変分の具体的な公式も得られることも確認した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本年度は共同研究も含めて本研究課題とは直接的には関係しない研究にも取り組んだことにより，計画の実施に遅れが生じている．一方で共形幾何に関する研究の進展によりGraham-Wittenエネルギーに関して調べられる具体例が得られたことは今後の研究において非常に役に立つと考えている．
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| 今後の研究の推進方策 |
漸近的複素双曲空間の面積繰り込みを用いたCR多様体への一般のはめ込みに対する不変量の構成に取り組む．また本年度得られた第二変分の公式を具体例に対して適用することで臨界点が安定であるかを調べる．
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