研究開始時の研究の概要 |
現在, A. Connesによって1980年代に創始された非可換幾何学は, Atiyah-Singer指数定理の対象を広げるために活発に用いられている. 例えば, 無限の広がりを持つ空間において, J. Roeは無限遠が2点である様なコンパクト化に対応する指数定理を非可換幾何学の枠組みで展開し, その手法を発展させて粗幾何学を展開した. 本研究では, Roeの定理を拡張することを目指す. 特に, 無限遠がフラクタルのような複雑性を持つコンパクト化に対応する指数定理を展開することを目指す.
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研究実績の概要 |
完備Riemann多様体Mを2つに分割する閉部分多様体Nが定まっており, その余次元は1とする. このとき, J. Roeによって分割の情報を用いた巡回コサイクルζが導入された. Roeや私などによって, このζを用いてN上の作用素のFredholm指数を引き出す指数定理が証明されている. 本研究ではこのζを次のようなフラクタルが関わる状況で一般化することを目標としている. N. Higsonによると, ζは2点コンパクト化に対応し, 境界 (2点) の情報を引き出している. そこで, 本研究では, 複雑な境界, 特にフラクタル的な構造をもつ境界によるコンパクト化を考え巡回コサイクルを定義し, 境界の幾何的情報を取り出す指数定理を構築したい. そのためには, 巡回コサイクルの段階的な一般化とフラクタル集合における非可換幾何学の理解が必要になる. 本年度は昨年に引き続き, 丸山氏 (NEC) と共同でフラクタル集合上の非可換幾何学について調べた. 特に, 以前丸山氏と共同で導入した, n次元立方体を基にする自己相似集合に対するFredholm作用素やその変種に注目し, Freholm作用素を用いてフラクタル集合上の非可換幾何学について研究した. 今年度は特にCantor dust上でそのFredholm加群を利用することで, Cantor dust上の非自明な巡回2コサイクルを構成した. その巡回2コサイクルは, 森吉-夏目によって3進Cantor集合上で導入されたものの高次元化であり, Lipschitz関数環の上ではゼロであるという奇妙な性質を持つ.
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