| 研究課題/領域番号 |
21K13797
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
粕谷 直彦 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (70757765)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
2,470千円 (直接経費: 1,900千円、間接経費: 570千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
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| キーワード | 複素曲面 / 接触構造 / 強擬凹境界 / ハンドル接着 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
「研究の目的」にも記した通り、強擬凹複素曲面のケーラー性の定義を境界との相性を考慮に入れたものに取り替えたうえで、ケーラー強擬凹曲面の境界に現れうる3次元接触構造を特定する。より具体的には、強擬凹境界への正則ハンドルの接着のうち、(+1)-surgeryのみがケーラー構造のハンドル内への拡張を許容する、ということが言えるのではないかと予想している。これを示すことによって、強擬凹複素曲面に関して、そのケーラー性・非ケーラー性と境界に現れる3次元接触構造のtightness/overtwistednessとの関係性が得られることが期待される。
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| 研究実績の概要 |
研究課題(17K14193)において、強擬凹曲面への正則ハンドルの接着法を確立することにより「任意の3次元閉多様体はケーラーな強擬凹曲面の境界として実現可能である」という結果を得た。本研究課題ではその続きとして「強擬凹曲面上のケーラー形式と境界との相性がよい場合、境界上の接触構造はtightか？」という問題に取り組んでいる。
現在のところ、以下の2つのアプローチを試みている。
一つ目は、強擬凹曲面について何らかの意味で小平の埋め込み定理の類似が成り立てば、そこから境界のfillabilityが示され、特に接触構造がtightであることが示されるだろうというものである。このアプローチを推進する観点から、小平邦彦によるコンパクト複素曲面の分類に関する一連の論文、Marinescuによるhyperconcave endのfillabilityに関する論文、Lempertによる3次元強擬凸CR多様体のfillabilityに関する論文などを精読し、複素幾何およびCR幾何の知識・考え方を習得中である。
一方、二つ目の方針は、ハンドル接着によって具体的に反例を構成するというものである。つまり、境界との相性がよいケーラー形式を持ちかつ境界がovertwistedである強擬凹曲面を作るという方針である。現段階では、こちらの方が有望ではないかと予想している。この方針においては、contact (+1)-surgeryに相当する正則ハンドル接着であって、ケーラー形式を適切に延長するものを構成することが重要となる。そのために、Gayによる凹シンプレクティックハンドル接着と我々の強擬凹正則ハンドル接着を融合させることが鍵になると考えている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
今年度も研究課題に関する目に見える成果は挙げられなかった。所属先の教育負担（特に、院生と学部4年生の指導）および教務の仕事が思いの他重かったことが主たる原因である。一方で、小平邦彦の論文などの精読を通じて、コンパクト複素曲面の理論に対する理解が深まりつつあることは本研究課題を遂行するうえでの収穫である。以上を考慮して「やや遅れている」と判断している。
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| 今後の研究の推進方策 |
Folland-Kohnや大沢健夫氏の著作を通じて、CR構造の解析的扱い、L^2理論を習得すること、また Andreotti や Kiremidjian のstrongly pseudoconcave manifoldに関する結果を根本から理解することが重要である。一方、De Oliveira の例を参考に、compact holomorphic curveの強擬凹近傍を plumbing することにより、強擬凹複素曲面の性質の良い例を多く構成することも鍵となってくるであろう。
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