| 研究課題/領域番号 |
21K13801
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 九州大学 (2023)
東京大学 (2021-2022) |
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研究代表者 |
池 祐一 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 准教授 (50850400)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | 超局所層理論 / シンプレクティック幾何学 / パーシステンス加群 / 層量子化 / インターリービング距離 / ラグランジュコボルディズム / 位相的データ解析 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
シンプレクティック幾何学とパーシステントホモロジー理論は層理論との関わりが近年発見され，様々な定理が再証明・再解釈されている．本研究では層を方向別に解析できる超局所層理論と呼ばれる手法を用いて従来のシンプレクティック幾何学や位相的データ解析を超える枠組みを構築することを目指す．特に，特異性のあるラグランジアン間のエネルギー的距離・多次元パーシステント加群の理論・層係数のモース複体といった対象について超局所層理論の視点から調べる予定である．
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| 研究実績の概要 |
今年度は，超局所層理論を用いたシンプレクティック幾何学の研究と層係数のモース複体について研究を行った．
まず，桑垣氏と共同で，余接束に関するNovikov環上の超局所圏および，完全とは限らないラグランジアンの層量子化の構成を行い，プレプリントをarXivに公開した．このプレプリントでは，構成した超局所圏および層量子化が，分離性定理・交叉点評価・インターリービング距離のハミルトン安定性・距離の完備性を持つことも示した．このトピックについては引き続き研究を行い，Weinstein多様体に拡張する予定である．
次に，浅野氏・Li氏と共同で，ラグランジュコボルディズムの影と層のインターリービング距離の間の不等式，およびラグランジュコボルディズムに付随する層量子化の反復錐分解を証明した．また，この分解に基づきコボルディズムに関するラグランジュ交叉の剛性を証明した．これらの結果はプレプリントとしてarXivに公開済みである．
また，ラグランジュ部分多様体の空間の完備化の元について，そのγ-supportが滑らかなラグランジュ部分多様体ならば完備化の空間で滑らかなラグランジュ部分多様体と等しいことを，共同研究を通して証明した．この証明は，昨年度得られた層量子化の簡約マイクロ台とγ-supportとの一致に基づく．加えて，構成可能層の層のモース複体を特定の状況で考察した．これらは今後論文にまとめる予定である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
層のインターリービング距離および層のモース複体に関して，順調に理解が進んでいると考えられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
シンプレクティック幾何におけるheavy/superheavyといった概念を超局所層理論から研究する．余接束以外のシンプレクティック多様体に対する超局所圏の構成を試みる．層のモース複体についても離散と滑らかなクラスの間の翻訳を進めて，現在得られている結果を一般化する．
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