| 研究課題/領域番号 |
21K13814
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 埼玉大学 |
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研究代表者 |
高橋 悠樹 埼玉大学, 理工学研究科, 助教 (70897769)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2025年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 反復関数系 / ランダムウォーク / Attractor / Lyapunov exponent / random matrix products / uniform hyperbolicity / Quasiperiodic cocycle / Furstenberg measure / Bifurcation current |
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| 研究開始時の研究の概要 |
量子ホール効果の研究に現れる、Almost Mathieu operator と呼ばれる重要な方程式が存在する。今日ではこの方程式のスペクトルはカントル集合となることが知られている。この問題の一般化について研究したい。すなわち、遥かに一般化された条件の元で、スペクトルに対応する量がいかなるときにカントル集合になるか、またどのような性質をもつカントル集合になるか、ということを解明したい。
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| 研究実績の概要 |
1) 有限個の実数上の縮小写像の組は反復関数系とよばれる。反復関数系とそれに対応する確率ベクトルが与えられたとき、実数上に不変測度と呼ばれる測度が自然に定義されることが知られている。反復関数系の拡張である nonautonomous な反復関数系とは、無限個の縮小写像の組のことである。この場合にも、不変測度に対応する測度が存在する。今年度の研究では、1パラメータに依存する nonautonomous な反復関数系を考え、ほとんどすべての場合にその不変測度が満たす次元公式を得た。また、ほとんど全ての場合にその測度が絶対連続になる十分条件をえた（中島由人氏との共同研究）。
2) 有限個の行列の組を与えたとき、円周上に attractor が定義できる。行列の組がある種の separation を持つとき、この attractor の次元公式が知られている。今回の研究では、行列の組に逆元が存在する場合においても、同様の次元公式が成立することを示した。
3) 反復関数系を拡張である、tree 上の反復関数系を定義しその性質を考察した。Tree 上でのランダムウォークを考え、そのランダムウォーク の exiting measure という測度を定義した。1パラメータに依存するそのような測度を考え、ほとんど全ての場合にその測度が満たす次元公式をえた。また、その測度が絶対連続になる十分条件をえた。これは、上の 1) の拡張である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の予定は、1パラメータに依存する Furtenberg measure の絶対連続性を示すことだった。これは、ある条件下においてはほぼ証明することができた。研究を進める中で、一般の場合にこの問題を完全に解決することは非常に困難であることがわかり、現在は Furtenberg measure と関連する他の複数のプロジェクトに取り組んでいる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は、Furtenberg measure と関連するプロジェクトについて研究したい。具体的には、縮小写像が線形である場合の反復関数系の拡張を考え、その次元公式を証明したい。また、縮小写像が線形でない場合にも、別の拡張を考えその次元公式を証明したい。
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