流体問題の数値計算手法におけるパラメータの選択について

• 研究課題/領域番号: 21K13840
• 研究種目: 若手研究
• 配分区分: 基金
• 審査区分: 小区分12040:応用数学および統計数学関連
• 研究機関: 北海道大学 (2023); 東京大学 (2021-2022)
• 研究代表者: 上田 祐暉 北海道大学, 電子科学研究所, 特任助教 (10835771)
• 研究期間 (年度): 2021-04-01 – 2026-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2023年度)
• 配分額: 3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円); 2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2023年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円); 2022年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円); 2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
• キーワード: 数値解析 / 流体計算 / 有限要素法 / 不連続ガレルキン法 / 安定化 / NURBS / IGA

研究開始時の研究の概要

流体問題の数値計算における数値振動を回避し良い計算結果を得るために、既存の手法に用いられるパラメータの選択に数学的な基準を与える。流体の挙動を記述する数理モデルをコンピュータで近似的に解く際には、物理的なパラメータだけでなくモデルの近似に関係するパラメータも、数値解の挙動に大きな影響を与える。本研究では、計算手法に対する数学解析により、より適切な数値解の挙動を与えるような良いパラメータ選択の数学的な基準を与える。数値計算手法の安定性、妥当性を数学的に保証することで、コンピュータシミュレーションの効率化や高度なシミュレーション技術への応用に貢献する。

研究実績の概要

本研究では、流体計算などに対する数値計算手法におけるパラメータの選び方に対して基準を与えることを目的としている。例えば流体問題を記述する偏微分方程式に対し、通常の有限要素法を適用すると、数値振動と呼ばれる挙動が観察されることがある。振動を含む数値解は、現実の流体現象のシミュレーション結果としては不適切なものであるため、これを回避するために、様々な手法が提案されており、例えば安定化有限要素法や不連続ガレルキン法（DG法）は数学的研究やシミュレーションへの応用など幅広く研究されている。ただし、これらの数値計算手法に関する数学研究は収束性や誤差評価が主である。すなわち、計算メッシュ幅を無限に小さくしたときに、元の数理モデルの解（弱解など）に近づいていく、ということはよく研究されている。
一方で、本研究ではメッシュ幅を有限に留めた際に、数値解がどのような性質を満たすかに注目したい。特に元の数理モデルには存在しない、つまり偏微分方程式に上述の計算手法を適用することで初めて導入されるパラメータについては、メッシュ幅に依存するようにされることも多いが、このような設定がメッシュ幅が（０に近づけた極限ではなく）有限の場合に対してどのように影響するかを考察したい。当該年度ではNavier-Stokes方程式に熱の影響を含めた方程式に対するDG法の適用を検討し、特に最大値原理を満たすようなリミッターの構成に注目し、先行研究を調査した。特定のリミッターにより最大値原理が達成される性質はメッシュ幅に依存しないため、数値計算結果の数学解析を行う上で重要な情報となる。当然、数値振動を抑えるという観点でも有用な性質であり、先行研究を精査することでそのアイデアを応用できないかと考えている。

現在までの達成度 (区分)

4: 遅れている

理由

本研究課題の進捗状況は、当初の想定よりも遅れていると言わざるを得ない。
今年度は数値計算における衝撃補足に注目し、それを実現する数値計算手法や人工的な項を対象に数学解析を試みたが、パラメータ選択基準という点まで踏み込んだ議論はできていない状況が続いている。本研究の主題である、メッシュ幅が有限の場合における性質や不等式評価を得るために、メッシュ幅に条件を課すことなく数学解析を行いたいが、現状では安定化項や衝撃補足項などの対象に、当初想定していた数学解析手法を適用することは難しいと判断せざるを得ず、新たな観点として最大値原理の応用を試みている段階である。
現在までに先行研究における数学解析の手法を学び、次年度の研究に向け準備をしているものの、現在までに本研究による新規の数学解析結果が得られているわけでは無い。研究内容の詳細も、当初の想定とは異なるものとなりつつあり、進捗状況は遅れていると言わざるを得ない。研究計画を見直し軌道修正を図りたいと考えている。

今後の研究の推進方策

今後の方針として、先行研究における結果の中で、特にメッシュ幅に依存しない性質に注目し、それらを応用することで新規の結果を得ることができないかを検討していきたい。特に最大値原理に関しては、差分法や不連続ガレルキン法においても再現するようなスキームが考案されている。また、有限要素法における離散最大値原理も、特殊な処理を用いたりいくつかの条件を課すことで達成されることが知られている。これらの結果を改めて検討することで、安定化有限要素法など幅広く応用される計算手法との関連性を見出すことができないかを研究したい。
また、数値実験の対象とする偏微分方程式として、Navier-Stokes方程式に熱の影響を加えたものを用いたいと考えている。方程式に対する数学解析は困難なものの、先行研究における数値計算結果は存在するので、それらと比較するような数値計算を検討しており、数値計算に用いるプログラムの準備を進めている。