| 研究課題/領域番号 |
21K18142
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| 研究種目 |
挑戦的研究(開拓)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
山本 昌宏 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50182647)
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| 研究期間 (年度) |
2021-07-09 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
24,830千円 (直接経費: 19,100千円、間接経費: 5,730千円)
2026年度: 4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2025年度: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2024年度: 4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2023年度: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2022年度: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2021年度: 4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
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| キーワード | 特異拡散 / 不均質媒質 / 非整数階偏微分方程式 / 非線形方程式 / 逆問題 / モデリング / 数学解析 / 拡散現象 / 放射線量等予測 / 汚染源推定 / 数値手法 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
１．環境中の汚染予測という社会性が極めて高い課題に数学の立場から取組み、現場で利用可能な手法の構築を目指し、より合理的な予測手法を確率して、数学による社会貢献の「視える化」を実現する。
２．本課題はラプラス方程式をはじめとする定常場・非定常場の偏微分方程式に対する色々なタイプの逆問題として記述できるが、これまで等閑視されてきたこのような逆問題の数学的な研究を、現実からの強い要請に基づいて推進する。それにより従来の数学研究の体系において、現実を直視して柔軟な課題設定で数学に取り組む方向性を示し、数学自身の研究領域の拡大を促す。
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| 研究実績の概要 |
土壌などの不均質媒質中の汚染物質の拡散などにおいては、通常の拡散と異なる現象を示すことがしばしば現場から報告されている。汚染などの将来予測を行うためには定量的な解析を可能とするモデル式が不可欠であり、古典的な拡散方程式にかわる有効なモデル式の確立とその数学解析が第一の課題である。汚染物質の拡散などの予測は、社会的にもインパクトが大きいので、説明責任を果たすことのできる健全な数理科学的な研究の素地を構築することが数学者の責務である。そのためのモデル式として、時間方向に履歴の効果を考慮した非整数階拡散方程式が受け入れられており、世界的にも夥しい研究がリアルタイムでなされている。しかしながら、既存の成果をなぞるか、理論的に脆弱なものが多く、実用の要請を満たすことが難しい。このような状況から、本研究の要点は以下の通りである。（１）非整数階線形偏微分方程式を伝統的な微分積分学の枠組みではなく、近代的な関数解析的な偏微分方程式論に見合う形で完成させる。そのような基礎付けは必ずしも一通りとは限らないが、近代的偏微分方程式論に適合し、そのうえで応用にも適した理論を独自に構築している。特に、より作用素論に基づいた非整数階偏微分方程式論をナンシー・ロレーヌ大学（フランス）の Mourad Choulli 教授と遂行した。（２）上記の線形理論に基づき、非整数階非線形偏微分方程式の理論を確立を目指している。非線形方程式は、緑化現象のモデル式である Klausmeister-Gray-Scott モデルなどとも関連しており、本研究の範囲を大きく広げることができた。（３）本課題の遂行のためには、モデル式の物理パラメータの定量的な推定のために、方程式の係数やソース項を解の限定された情報で決定するという逆問題についても数学解析を進めた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
コロナ禍で前年度は研究遂行に遅れを認めざるを得なかったが、令和5年度は回復し所期の成果を収めたと判断している。理由は以下の通りである。（１）非整数階偏微分方程式の線形理論の主要部分を完成させたこと。（２）線形理論を活用して、非線形の非整数階偏微分方程式の解の時間局所的な存在や時間大局的な存在、漸近挙動などの性質を確立しつつあること。（３）対応する逆問題の数学解析について世界をリードする成果を挙げていること。
研究発表の項でも述べるように研究論文の出版実績が以上の判断の１つの根拠となる。
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| 今後の研究の推進方策 |
（１）現場には本研究計画の数理的な解析を必要としている問題と解決への要請がいろいろある。そのような問題の探索、数学解析、工学者など現場に近い研究者との連携を当初の計画通りに遂行する。（２）理論面での研究を引き続き発展させ、現場の研究者と連携し、厳密で整合性があるだけではなく現場の課題に役立つ数学理論を構築していく。（３）非整数階偏微分方程式については、世界中でリアルタイムで数多い研究がなされている。そのような状況から、適切な研究者と連携し、本研究計画をコアにした国際共同研究体制を維持、発展させる。そのために指導的な立場を担うことができる海外の中堅の研究者の招へい・共同研究の推進とともに研究代表者、連携研究者の出張を計画している。国内・国外の研究集会の参加、成果発表、研究連絡なども実行していくことはいうまでもない。
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