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非可換代数幾何学を用いた可積分系の研究

研究課題

研究課題/領域番号 21K18575
研究種目

挑戦的研究(萌芽)

配分区分基金
審査区分 中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
研究機関東京大学

研究代表者

植田 一石  東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60432465)

研究期間 (年度) 2021-07-09 – 2024-03-31
研究課題ステータス 完了 (2023年度)
配分額 *注記
6,500千円 (直接経費: 5,000千円、間接経費: 1,500千円)
2023年度: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
2022年度: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
キーワード非可換代数幾何学 / モジュライ空間 / ホモロジー的ミラー対称性 / 特異点 / 楕円種数
研究開始時の研究の概要

代数幾何学と可積分系はともに長い歴史を持ち、それらの間には様々な関係が知られている。一方、非可換代数幾何学は、代数幾何学と可換環の関係を非可換環に拡張することによって、代数多様体の概念を量子化することを目指す、比較的新しい分野である。非可換代数多様体は集合ではなく圏であり、代数多様体の上の連接層のなすAbel圏や、その導来圏として得られる微分次数圏の一般化を与える。本研究では、非可換代数幾何学の可積分系への応用や、非可換代数多様体上の力学系の研究に取り組む。

研究成果の概要

標識付き非可換3次曲面のコンパクトなモジュライ空間を箙の関係式のモジュライ空間の幾何学的不変式論的なコンパクト化として定義し、それが8次元の射影的トーリック多様体であって、射影平面上の一般の6点の配置空間を余次元4の局所閉部分多様体として含んでいる事を証明した。また、あるクラスのBrieskorn-Pham特異点のMilnorファイバーに対して、巻深谷圏やRabinowitz深谷圏を適当な群作用に関する同変行列因子化の圏と同定するホモロジー的ミラー予想や、深谷圏のHochschildコホモロジーとシンプレクティックコホモロジーが同型であるというSeidelの予想を証明した。

研究成果の学術的意義や社会的意義

非可換射影平面と非可換2次曲面の概念はArtin-Tate-Van den BerghとVan den Berghによって1990年と2011年に出版された論文で確立されたが、我々の結果は非可換3次曲面やより一般の非可換del Pezzo曲面の概念を確立するものであり、今後の発展の基礎となる重要なものである。また、Milnorファイバーの巻深谷圏やRabinowitz深谷圏に対するホモロジー的ミラー対称性は、有限次元代数の表現論や団代数の理論など、数学の他の分野とも関係が深い。

報告書

(4件)
  • 2023 実績報告書   研究成果報告書 ( PDF )
  • 2022 実施状況報告書
  • 2021 実施状況報告書
  • 研究成果

    (26件)

すべて 2024 2023 2022 2021 その他

すべて 国際共同研究 (6件) 雑誌論文 (7件) (うち国際共著 4件、 査読あり 7件、 オープンアクセス 3件) 学会発表 (10件) (うち国際学会 9件、 招待講演 10件) 備考 (3件)

  • [国際共同研究] The University of New South Wales(オーストラリア)

    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
  • [国際共同研究] Imperial College London/Loughborough University(英国)

    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
  • [国際共同研究] Universidad Autonoma de Madrid(スペイン)

    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
  • [国際共同研究] Imperial College London(英国)

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [国際共同研究] Imperial College London/Loughborough University(英国)

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
  • [国際共同研究] University of New South Wales(オーストラリア)

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
  • [雑誌論文] On homological mirror symmetry for the complement of a smooth ample divisor in a K3 surface2024

    • 著者名/発表者名
      Lekili Yanki、Ueda Kazushi
    • 雑誌名

      Kyoto Journal of Mathematics

      巻: 64 号: 2 ページ: 557-564

    • DOI

      10.1215/21562261-2023-0023

    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Dimer models and group actions2023

    • 著者名/発表者名
      Ishii Akira、Nolla Alvaro、Ueda Kazushi
    • 雑誌名

      Mathematische Zeitschrift

      巻: 306 号: 1 ページ: 1-24

    • DOI

      10.1007/s00209-023-03394-4

    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] The ring of modular forms of $\mathrm{O}(2,4;\mathbb{Z})$ with characters2022

    • 著者名/発表者名
      NAGANO Atsuhira、UEDA Kazushi
    • 雑誌名

      Hokkaido Mathematical Journal

      巻: 51 号: 2 ページ: 275-286

    • DOI

      10.14492/hokmj/2020-355

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Homological mirror symmetry for Milnor fibers via moduli of A∞$A_\infty$‐structures2022

    • 著者名/発表者名
      Lekili Yank?、Ueda Kazushi
    • 雑誌名

      Journal of Topology

      巻: 15 号: 3 ページ: 1058-1106

    • DOI

      10.1112/topo.12248

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] The ring of modular forms for the even unimodular lattice of signature (2,18)2022

    • 著者名/発表者名
      Nagano Atsuhira、Ueda Kazushi
    • 雑誌名

      Hiroshima Mathematical Journal

      巻: 52 号: 1 ページ: 43-51

    • DOI

      10.32917/h2021012

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Homological mirror symmetry for Milnor fibers of simple singularities2021

    • 著者名/発表者名
      Lekili Yanki、Ueda Kazushi
    • 雑誌名

      Algebraic Geometry

      巻: 8 ページ: 562-586

    • DOI

      10.14231/ag-2021-017

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] The ring of modular forms for the even unimodular lattice of signature (2,10)2021

    • 著者名/発表者名
      Hashimoto Kenji、Ueda Kazushi
    • 雑誌名

      Proceedings of the American Mathematical Society

      巻: 150 号: 02 ページ: 547-558

    • DOI

      10.1090/proc/15667

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [学会発表] Moduli of Calabi-Yau manifolds as moduli of A-infinity structures2024

    • 著者名/発表者名
      Kazushi Ueda
    • 学会等名
      Tsinghua-Tokyo workshop on Calabi-Yau
    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Dimers, clusters, and mirrors2024

    • 著者名/発表者名
      Kazushi Ueda
    • 学会等名
      Eastern Hemisphere Colloquium on Geometry and Physics
    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] ミラー対称性と退化2024

    • 著者名/発表者名
      植田一石
    • 学会等名
      日本数学会年会特別講演
    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Stable Fukaya categories of Milnor fibers2023

    • 著者名/発表者名
      Kazushi Ueda
    • 学会等名
      Mirror Symmetry and Differential Equations
    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Homological mirror symmetry for Milnor fibers of simple elliptic hypersurface singularities2023

    • 著者名/発表者名
      Kazushi Ueda
    • 学会等名
      Workshop on Mirror symmetry and Related Topics
    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Homological mirror symmetry for maximally degenerate Calabi-Yau manifolds2023

    • 著者名/発表者名
      Kazushi Ueda
    • 学会等名
      Workshop on Mirror symmetry and Related Topics
    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Homological mirror symmetry and elliptic fibrations2023

    • 著者名/発表者名
      Kazushi Ueda
    • 学会等名
      QSMS workshop on symplectic geometry and related topics, Jeju, Korea
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Stable Fukaya categories of Milnor fibers2023

    • 著者名/発表者名
      Kazushi Ueda
    • 学会等名
      QSMS workshop on symplectic geometry and related topics, Jeju, Korea
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Stable Fukaya categories of Milnor fibers2022

    • 著者名/発表者名
      Kazushi Ueda
    • 学会等名
      Geometry of GLSMs, University of Birmingham, UK
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Noncommutative local Calabi-Yau 3-folds2022

    • 著者名/発表者名
      Kazushi Ueda
    • 学会等名
      UNIST International Workshop on Geometry and Mathematical Physics 2022, Ulsan National Institute of Science and Technology
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [備考]

    • URL

      https://researchmap.jp/uedakazushi

    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
  • [備考]

    • URL

      https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kazushi/

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [備考]

    • URL

      https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kazushi/

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書

URL: 

公開日: 2021-07-13   更新日: 2025-01-30  

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