| 研究課題/領域番号 |
21K18581
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| 研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
赤木 剛朗 東北大学, 理学研究科, 教授 (60360202)
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| 研究期間 (年度) |
2021-07-09 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
6,240千円 (直接経費: 4,800千円、間接経費: 1,440千円)
2023年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
2022年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
2021年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
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| キーワード | 非整数階微分 / 発展方程式 / 非線形問題 / 摂動理論 / 解の漸近挙動 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
拡散現象は人間の老化や薬剤の効果など私達の生活に密接に関わる重要な物理現象の一つである。その基礎理論は前世紀中に確立したが、そこから逸脱する重要な現象が数多く発見され、それらを理論的に理解する試みが多くなされた。本研究課題ではそのための数学的理論を整備するために、非整数階微分（例えば1/2階微分やπ階微分）を伴う微分方程式の研究を行う。特に具体的な方程式に対する精密な個別解析から、広いクラスの方程式を一括して扱うことのできる一般論の構築まで、具体と抽象が交差する数学の強みを活かした研究を行い、非整数階微分と非線形構造が共存する発展方程式が記述する特異な現象を理解するための枠組みを構築する。
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| 研究実績の概要 |
ここまで行ってきた非凸型汎関数に対する非整数階時間微分を伴う勾配流理論に関する中島慶人氏 (東北大学) との共同研究をさらに発展させ, 小さなデータに対する時間大域解の存在を保証する抽象理論の構築, 並びに非整数階時間微分を伴う退化放物型方程式への応用に成功した. さらに退化放物型方程式に関する個別解析を通して, 小さな時間大域解の減衰レートの特定とその最適性の証明にも至っている. これによって当初予定されていた研究課題は概ね解決している. 現在は得られた結果を取りまとめて論文を作成中である. その他, 本研究課題でこれまでに得られていた結果 (特に Israel Journal of Math., 2019 に発表された結果) を含めて, 非整数階時間微分を伴う消散系に関するサーベイ記事を Chrisitan Kuehn 氏 (ミュンヘン工科大学) らと執筆した. これは 2024 年 5 月に Fractional Dispersive Models and Applications -Recent Developments and Future Perspectives- (Ed. P.G. Kevrekidis, J. Cuevas-Maraver), Nonlinear Systems and Complexity, volume 37, Springer Cham に収録される予定である. その他, 新たに派生した課題として非整数階微分を含む発展方程式に対する力学系アプローチについて幾つかのプロトタイプを考案した (リーマン・リュービル微分などの非整数階微分ではその非局所性から単純な方法では半群が構成できない). その 1 つは前述の書籍内で述べられている. その他, 非整数階微分の定義を変えることで, 半群を構成する方法についても検討を進めている.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究計画で当初予定されていた研究課題は概ね解決している. 特に非整数階微分を含む勾配流理論に関しては十分な理論が完成したと言える. またサーベイ記事の執筆も担当し, これまでの研究成果を非整数階微分を含む発展方程式論の一部に組み込むはこびとなった. このサーベイ記事は複数のさまざまな非整数階微分を含む微分方程式の諸問題に関する最新の研究理論を複数の著者が執筆して集約したものであり, タイムリーな本研究課題の成果を国際的な場で発表する上で非常に良い機会となった. 非整数階微分を含む発展方程式の理論は今後も多くの展開が期待される研究分野であることが本研究課題の実施期間中に明らかになったが, 今後の研究を支える基礎理論がすでに確立されており, 当初の目標が十分に達成されたと考える. よって本研究課題の計画は順調に進展している. また日本数学会の分科会が主催した第62回実函数論・函数解析学合同シンポジウムも一部を支援し, 発展方程式論の研究者と実関数論や関数解析学の専門家が交流し, 最新の研究情報を交換する場を設けた. さらに国際会議 Turing Symposium on Morphogenesis, 2024 - a Panorama in Turing's Sight - の開催も一部を支援し, 反応拡散系と数理生物学の研究に於ける発展方程式論の世界的な展開について意見交換する場を設けることができた. 一方, 本研究課題で得られた研究成果の発表や情報交換を目的とした, 関連分野の研究者の招聘, および, こちらからの訪問を予定していたが, 先方とスケジュールが合致せず実施を見合わせたものもあった. これらは 2024 年度にスケジュールを再調整の上, 順次実施していく予定である.
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究計画で予定されていた研究課題は概ね解決しているが, これまでに得られた研究成果の発表やそれに関する情報交換を国内外の研究者向けに行う必要があるため, 研究期間を延長することとした. 特に 2024 年 12 月にアラブ首長国連邦にて American Institute of Mathematical Sciences が主催する大型の国際会議に研究協力者と参加し, さらにそこで発展方程式論に関する Special Session を開催することで, これまでに得られた研究結果を発表する場を設ける予定である. またここまでの研究成果を論文として取りまとめ, 学術誌に投稿する作業も引き続き行っていく. また本研究課題の実施過程で新たに派生した課題も多数あるため, それらの解決に向けて引き続き取り組みを続ける. さらにそれらに基づいた新たな研究計画を考案し, 研究活動の大幅なスケールアップを目指す.
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