| 研究課題/領域番号 |
21K18581
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| 研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
赤木 剛朗 東北大学, 理学研究科, 教授 (60360202)
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| 研究期間 (年度) |
2021-07-09 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2021年度)
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| 配分額 *注記 |
6,240千円 (直接経費: 4,800千円、間接経費: 1,440千円)
2023年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
2022年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
2021年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
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| キーワード | 非整数階微分 / 発展方程式 / 非線形問題 / 摂動理論 / 解の漸近挙動 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
拡散現象は人間の老化や薬剤の効果など私達の生活に密接に関わる重要な物理現象の一つである。その基礎理論は前世紀中に確立したが、そこから逸脱する重要な現象が数多く発見され、それらを理論的に理解する試みが多くなされた。本研究課題ではそのための数学的理論を整備するために、非整数階微分（例えば1/2階微分やπ階微分）を伴う微分方程式の研究を行う。特に具体的な方程式に対する精密な個別解析から、広いクラスの方程式を一括して扱うことのできる一般論の構築まで、具体と抽象が交差する数学の強みを活かした研究を行い、非整数階微分と非線形構造が共存する発展方程式が記述する特異な現象を理解するための枠組みを構築する。
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| 研究実績の概要 |
今年度は研究代表者が 2019 年に Israel J. Math. 誌から発表したヒルベルト空間に於ける非整数階時間微分作用素を伴う semiconvex なエネルギー汎関数に対する勾配作用素によって支配される発展方程式（以下ではその解を fractional gradient flow と呼ぶ）の理論に対する摂動論構築への試みとして、まずは semiconvex なクラスには入らないエネルギー汎関数に対する fractional gradient flow の構成に取り組んだ。この研究は研究代表者の指導学生である中島慶人氏との共同研究である。この課題解決への第一歩として、凸性は仮定しないがエネルギー空間上で強圧的になる（特に下から有界になる）ようなエネルギー汎関数に対する fractional gradient flow の構成に成功した。ここでは下から有界になるようなエネルギー汎関数を扱っているため、構成した fractional gradient flow は時間大域的に存在する。この結果は非整数階時間偏微分作用素と p-Laplacian をはじめとする退化・特異拡散作用素を伴う爆発項付きの放物型方程式に応用可能であり、特に爆発項の増大度が拡散項の増大度を下回るケース（いわゆる subprincipal case）に於いて時間大域解の存在を保証する。さらに強圧性を仮定せずにエネルギー汎関数が上下に非有界になるようなケースへの拡張にも取り組み、その時間局所解の存在の証明に向けた見通しが大方立った。細部のチェックや仮定の一般化など抽象論構築に伴う作業はまだ多く残るが、前述の非整数階時間微分を伴う放物型方程式に対して、特に爆発項の増大度が拡散項の増大度を越えるようなケース（すなわち superprincipal case）に於いて時間局所解の存在を保証することができる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究期間中に予定されていた摂動論の構築に関しては、semiconvex ではないエネルギー汎関数に対する fractional gradient flow の構成に対して大方の見通しがついており、問題解決の観点では当初計画以上に順調なペースと言える。抽象論であるため仮定の置き方など慎重に検討が必要であるため、成果の取りまとめにはもう少し時間が必要であるため、計画全体としては概ね順調に進展していると言えよう。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後はまず今回得られた結果を精査し、より多くの問題に効率的に適用可能な抽象論の構築を目指す。また実際にここでの結果を非整数階時間偏微分作用素を伴う偏微分方程式に適用することで、その時間大域／局所解の存在を証明する。さらにそれに基づいて同偏微分方程式の解の漸近挙動の解析に取り組む。この問題は抽象および具体の両側面から接近する。すなわち基本的な解の漸近挙動を決定することのできる抽象論の構築、さらに抽象論で抽出する構造だけでは決定し切れないような解の挙動を個別解析によって明らかにする。特に解の爆発現象や時間大域解の存在に対する判定条件の解明、時間大域解の有界性、さらに定常解への（全列）収束性がテーマとなる。これらの課題も指導学生の中島氏との共同研究として実施する。2021年度は新型コロナの影響が大きく、国内での研究発表の機会もやや限定的だった。さらに海外での成果発表の機会や関連分野の研究者との情報交換はオンラインを除くと全く行えなかった。この点は2022年度に大きく改善されることを期待したい。いずれにせよできるものから実施する方針で、国内外の関連分野の研究者の招聘・訪問を適宜実施していく。また2021年度は出張ができなかった一方で関連する研究理論の取りまとめを行い、大学院生のアルバイトによるサーベイ作成などにも取り組んだ。この経験を活かして今後も関連分野のサーベイ作成などを行い、少しでも近接分野全体の発展に貢献したい。
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