| 研究課題/領域番号 |
21K18581
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| 研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
赤木 剛朗 東北大学, 理学研究科, 教授 (60360202)
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| 研究期間 (年度) |
2021-07-09 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
6,240千円 (直接経費: 4,800千円、間接経費: 1,440千円)
2023年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
2022年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
2021年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
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| キーワード | 非整数階微分 / 発展方程式 / 非線形問題 / 摂動論 / 解の漸近挙動 / 摂動理論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
拡散現象は人間の老化や薬剤の効果など私達の生活に密接に関わる重要な物理現象の一つである。その基礎理論は前世紀中に確立したが、そこから逸脱する重要な現象が数多く発見され、それらを理論的に理解する試みが多くなされた。本研究課題ではそのための数学的理論を整備するために、非整数階微分（例えば1/2階微分やπ階微分）を伴う微分方程式の研究を行う。特に具体的な方程式に対する精密な個別解析から、広いクラスの方程式を一括して扱うことのできる一般論の構築まで、具体と抽象が交差する数学の強みを活かした研究を行い、非整数階微分と非線形構造が共存する発展方程式が記述する特異な現象を理解するための枠組みを構築する。
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| 研究成果の概要 |
非整数階微積分学の研究は1695年にライプニッツがロピタルに当てた手紙にまで遡る。その後、物理学や工学のさまざまな文脈で非整数階微分を用いたモデリングや理論が誕生し、多くの注目を集めてきたが、その現代数学的な研究はあまり進んでいない。本研究では非整数階微分を含んだ異常拡散方程式を念頭に、発展方程式論の立場から一般論の構築を試みる。特に非局所作用素である非整数階微分と非線形拡散に代表される非線形構造が共存する発展方程式に適応できるような基礎理論はこれまでに存在しなかった。本研究の結果によって時間局所的・大域的な可解性が保証されるばかりでなく、解の漸近挙動などに関する個別解析の基盤も整備された。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
一見、均質的にみえる物体もミクロな世界では複雑な構造を有していることがあり、その認識の違いから我々の目には奇異に映る現象が多く存在する。そのような現象の理解を進めるために、微分や積分の階数を整数以外に拡張した概念が用いられる。非整数階微分は過去の履歴の影響をより強く受ける非局所的な性質を有している。他方、パターン形成や特異性の発現の要因として物理法則やモデルに内在する非線形性がしばしば注目を集めている。本研究課題ではそのような非局所性と非線形性が共存する数学的問題に焦点を当て、その解析の基盤となる数学理論の構築に取り組んだ。時間や空間に関する多重スケール構造を有する現象の数学的理解を深めた。
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