研究課題/領域番号 |
21K18582
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研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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配分区分 | 基金 |
審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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研究機関 | 東北大学 |
研究代表者 |
猪奥 倫左 東北大学, 理学研究科, 准教授 (50624607)
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研究期間 (年度) |
2021-07-09 – 2024-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
6,240千円 (直接経費: 4,800千円、間接経費: 1,440千円)
2023年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
2022年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2021年度: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
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キーワード | q指数・対数関数 / 非線形スケール変換 / q-対数関数 / q-指数関数 / 一般化三角関数 / オイラー型関係式 / 分野横断型ネットワーク |
研究開始時の研究の概要 |
目的1を実現するためにはq-指数関数と一般化三角関数それぞれの長所を他方に伝搬させることが必要である.目的1のためにも,両分野の長所と課題を徹底的にすり合わせ,打開策を探ることが必要になる.このためにも目的2のネットワークを活用する.目的2を実現するために,統計力学分野(q-指数関数),数理解析学分野(一般化三角関数),およびそれらの関連分野から専門家を招聘して研究集会を開催する.
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研究実績の概要 |
臨界型関数不等式を劣臨界の連続極限として導出する研究を行い,Radial Lemmaから導かれるq指数関数を用いてMoser--Trudinger不等式の劣臨界近似を得た.不等式を成立させるような汎関数の劣臨界近似はいくらでも考えることができるが,本研究では集中レベルの連続性を持つような劣臨界近似の構成に成功した.得られた結果はProceedings AMSに掲載が決定している.また,この劣臨界近似をより強い収束性で示すために,Gamma--Convergenceの証明を試みた.最終的な結論までは得られていないが,結果が肯定的であることを示唆する部分的な結果を得た.より具体的には,劣臨界指数$p$に関する不等式の一様有界性が証明できればこれらの強い収束性が期待できることがわかった.現在は一様有界性を証明するために,汎関数の構造を精査するとともに,Moserによる原証明に立ち返って研究を進めている. また,本研究の主題であるオイラー型関係式を探るため,非線形固有値問題との関連性を考察した.特にq三角関数やq指数対数関数そのものではなく,背後にある微分方程式の構造を解析した.具体的には両q関数が関数不等式の最良定数を達成する最適化関数として現れることに注目し,最良定数の連続性から両関数の関連性を探ったが,現在までに明確な関連性を得るには至っていない.今後は微分作用素の一般化なども含めて検討していく.
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
得られた研究成果は専門欧文雑誌に掲載が決定している.また,海外において2件の研究発表を行った.さらに,オイラー型関係式には辿り着いていないものの,背後にある微分方程式の構造的な類似性について解析を行った.
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今後の研究の推進方策 |
q指数関数とq三角関数をつなぎ合わるために,背後にある関数不等式の最良定数および最適化関数に注目し,最良定数の収束性に対する知見を蓄積していく.来年度も引き続き,最良定数のさまざまな意味での連続性について考察を深める.具体的にはGamma--Convergenceを明らかにする.さらに得られた知見をもとに,最良定数の連続性の観点から両q関数の関連性を研究する.
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