| 研究課題/領域番号 |
21K18583
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| 研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 埼玉大学 |
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研究代表者 |
長澤 壯之 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (70202223)
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| 研究分担者 |
下川 航也 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 教授 (60312633)
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| 研究期間 (年度) |
2021-07-09 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
6,240千円 (直接経費: 4,800千円、間接経費: 1,440千円)
2023年度: 2,210千円 (直接経費: 1,700千円、間接経費: 510千円)
2022年度: 2,340千円 (直接経費: 1,800千円、間接経費: 540千円)
2021年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | 結び目のエネルギー / 絡み目のエネルギー / メビウス・エネルギー / メビウス不変 / ガウス写像 / 分解エネルギー / 調和写像 / 結び目 / 変分問題 / 絡み目 / エネルギー / Sobolev多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
関数空間を関数の位相的性質により分割するという発想は従来なかったものである。解析学と位相幾何学の研究者の共同作業により、位相幾何学における変分問題への新しい解析法を創出する。新手法により結び目エネルギーに関する未解決問題に取り組む。
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| 研究成果の概要 |
本研究では結び目や絡み目に対するメビウス・エネルギーを対象となる結び目や絡み目の位相を考慮した解析を行うことである。絡み目型を表す位相不変量の一つに絡み数はガウス写像の写像度として定義される。ガウス写像を絡み目だけでなく結び目に対しても定義を拡張し、メビウス・エネルギーとそのメビウス不変分解によって得られた分解エネルギーとガウス写像の関連を研究した。その結果、ガウス写像を間接的に用いた各エネルギーの間接表現と、ガウス写像を直接用いた第二分解エネルギーの直接表現を得た。前者からは、エネルギー分解をエネルギーに対する中線定理と解釈できる事、後者からはメビウス・エネルギーと波動写像の関係を得た。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
結び目や絡み目のエネルギーは、それらの標準型を与えるために考案されたものである。その中でメビウス変換により不変なエネルギーがメビウス・エネルギーである。この不変性は幾何学的には興味深いが、解析学的には最小化列のコンパクト性の喪失を意味に、解析が困難となる。そのために、エネルギー構造のより深い理解が必要となる。本研究により、位相不変量を与えるGauss写像との関連が明らかとなった。
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