| 研究課題/領域番号 |
21K20324
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| 研究種目 |
研究活動スタート支援
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
0201:代数学、幾何学、解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
日下部 佑太 京都大学, 理学研究科, 助教 (60913861)
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| 研究期間 (年度) |
2021-08-30 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | 岡の原理 / 岡多様体 / Stein多様体 / アファイン代数多様体 / 楕円性 / 補間定理 / 基本群 / ホモトピー型 / Levi問題 / 擬凸性 / 擬凹性 / 正則写像 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の目的は、岡の原理の微分幾何学的側面や代数幾何学的側面を解明することにより多変数関数論及び幾何学双方の発展を促すことである。
岡の原理とは多変数関数論におけるホモトピー原理のことで、岡潔やGrauert、Gromov、Forstnericらにより岡多様体論へと発展した研究対象である。
Gromov予想の解決を根拠として岡多様体は双曲多様体と複素幾何学的に真逆の性質を持つため、他の幾何学的側面においても真逆の性質を持つのではないかということが本研究の核心をなす問いである。
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| 研究実績の概要 |
本研究課題の核心をなす問いとして、複素幾何学で確立された岡多様体のある種の楕円性の類似が他の圏においても成り立つかということがあった。代数多様体の圏においては、代数的楕円性と代数的Runge型近似定理の同値性が既に知られており、この同値な条件を満たすものが代数多様体の圏における岡多様体の対応物であることが期待されている。一方で代数的楕円多様体に対しても、ある定式化の代数的な岡の原理は成り立たないことが確認されており、多くの解決すべき問題が残っている研究対象である。
以上のような背景のもと、本年度は主に代数的楕円多様体の性質を研究した。まず、岡多様体が複素Euclid空間からの全射正則写像をもつというForstnericの結果の代数多様体の圏における対応物を証明した。より具体的には、任意の代数的楕円多様体がアファイン空間からの代数的全射をもつことを示した。この結果はArzhantsevやForstnericの定理を一般化し、彼らの問題への肯定的な解答も与えている。また応用として、代数多様体の圏におけるジェット補間定理の対応物も得ることができた。
もう一つの研究成果として、任意の代数的楕円多様体の基本群が有限であること及び任意の有限群に対してそれを基本群とする代数的楕円多様体が存在することを確かめた。この研究は岡多様体のホモトピー型に関するGromovの問題を動機としており、岡多様体の代数幾何学的側面だけでなく位相幾何学的側面も同時に解明することを目指すものである。
本年度に得られた以上の研究成果は、代数的楕円多様体が代数多様体の圏における岡多様体の対応物であるという予想をより強くするものであり、今後は適切な定式化のもとで代数的な岡の原理の確立が期待される。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
岡多様体の性質の代数的類似が代数的楕円多様体に対して成り立つかどうかを研究することで、本研究の課題の一つである岡の原理の代数幾何学的側面が明らかになってきた。
特に代数的ジェット補間定理は、代数的楕円多様体が代数多様体の圏における岡多様体の対応物であることを一層強く示唆するものであり、代数的楕円多様体に対する代数的な岡の原理確立への着実な進展である。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は本年度得られた結果をスキームに一般化することで岡多様体の代数幾何学的側面をより明確にし、スキームに対する代数的な岡の原理の確立を目指す。またこの研究により岡多様体論とA^1ホモトピー論の関係が見えてくるため、岡多様体論をモデル圏の視点から研究したLarussonの結果を参考に、A^1ホモトピー論の視点からも岡多様体論を研究する。
これらの研究により得られる岡多様体論と代数幾何学の繋がりを用いることで、代数幾何学における定理を解析的な岡多様体論に輸入することも期待できる。
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