| 研究課題/領域番号 |
21K20342
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| 研究種目 |
研究活動スタート支援
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
0201:代数学、幾何学、解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 東京工業大学 (2022-2023)
沼津工業高等専門学校 (2021) |
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研究代表者 |
中村 聡 東京工業大学, 理学院, 助教 (20911754)
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| 研究期間 (年度) |
2021-08-30 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2022年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2021年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | ケーラー・アインシュタイン計量 / ケーラー多様体 / エネルギー汎関数 / ファノ多様体 / 乗数的エルミート・アインシュタイン計量 / カップルド・ケーラー・アインシュタイン計量 / ケーラー・アイシュタイン計量 / K-安定性 / 標準的ケーラー計量 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ファノ多様体においてケーラー・アインシュタイン計量の存在性は代数幾何学的安定性条件で特徴付けられることが知られている．これはファノ多様体のモジュライ空間の構成に標準的ケーラー計量という微分幾何学的な対象が重要な役割を果たすと見なすことができる．
本研究では標準的ケーラー計量の存在性を特徴づける安定性条件を物理学における統計力学や場の量子化などの視点から考察する．また，標準計量を許容しないファノ多様体の数値的特徴付けもこれらの視点を用いて行う．
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| 研究実績の概要 |
複素幾何学において，標準的なケーラー計量の存在性を代数的不変量で特徴づける研究がある．ケーラー・アインシュタイン計量の存在性とK-安定性との同値性を確立した研究がChen-Donaldson-Sunによりなされ，この文脈における中心的定理としてある．非線形偏微分方程式の可解性が多様体の代数的量により特徴付けられることを意味する．異分野間の橋渡しをしており，学問的に興味深い．
Chen-Donaldson-Sunの定理以後，ケーラー・アインシュタイン計量の様々な一般化が議論されている．例えば，正則ベクトル場を付加した場合・特異点を持つファノ多様体の場合・スカラー曲率一定ケーラー計量の場合などが挙げられる．満渕はMultipler Hermitian-Einstein metricを導入し，ケーラー・アインシュタイン計量の基礎理論の一般化を議論している．この計量はケーラー・リッチソリトンや満渕ソリトンなどを主要な例として含むファノ多様体の標準計量の系列をなす．
今年度は，中川泰宏氏（熊本大学）との共同研究により，modified extremal metric を導入し，その存在性を議論した．Chen-Chengによるスカラー曲率一定ケーラー計量を構成する連続法の議論を拡張し，汎関数を用いた解析的安定性定理と測地線に沿った汎関数の微分を用いた測地的安定性定理を証明した．特に，Multiplier Hermitian-Einstein metricの存在性からmodified extremal metricの存在生が従うことを示した．一般には異なる標準計量の存在生の相互関係は興味深いと思われる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
標準計量の存在性に関する解析的理論を我々の研究に応用できた．その道具立ては今後の研究でも重要な役割を果たすと思われるため．また，昨年度研究していた，KSM多様体上のMultipler Hermitian-Einstein計量との関わりを議論でき，研究の広がりを得ることができたため．
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| 今後の研究の推進方策 |
ケーラー・アインシュタイン計量の存在生を単一の代数的不変量で特徴づける付値的安定性理論が近年大きく発展している．我々の研究にこの付値的安定性理論を取り込むことを検討する．
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