| 研究課題/領域番号 |
21KK0044
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| 研究種目 |
国際共同研究加速基金(国際共同研究強化(B))
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
赤木 剛朗 東北大学, 理学研究科, 教授 (60360202)
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| 研究分担者 |
中村 健一 明治大学, 研究・知財戦略機構(中野), 特任教授 (40293120)
松澤 寛 神奈川大学, 理学部, 教授 (80413780)
村川 秀樹 龍谷大学, 先端理工学部, 教授 (40432116)
兼子 裕大 関東学院大学, 理工学部, 講師 (40773916)
佐藤 龍一 福岡大学, 理学部, 助教 (20802599)
Cavallina Lorenzo 東北大学, 理学研究科, 助教 (40881264)
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| 研究期間 (年度) |
2021-10-07 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
18,200千円 (直接経費: 14,000千円、間接経費: 4,200千円)
2026年度: 2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2025年度: 2,340千円 (直接経費: 1,800千円、間接経費: 540千円)
2024年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2023年度: 3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2022年度: 4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2021年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
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| キーワード | 非線形拡散方程式 / 漸近挙動 / 定量的解析 / 発展方程式 / 函数解析 / 関数解析 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
古典的な拡散方程式に対してはフーリエ解析などの手法を用いて解を具体的に表現することができるが，非線形性を伴う偏微分方程式に対してそれは難しい．特に拡散係数が定数ではない非線形拡散を記述する方程式は，その主要部が非線形化されるため線形方程式に対する摂動問題の範疇では扱うことができず本質的に新しい接近法が必要となるため，世界中で大きな注目を集めている．この研究課題は，そのような非線形拡散方程式に対して解の性質や挙動を定量的に解明する国際共同研究である．解の表現が直接的にも近似的にも得られないため，その解析はより間接的なものとなるが，解の定量的な情報を詳細に引き出すことのできる理論を構築する．
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| 研究実績の概要 |
以下, (1)-(4)は交付申請書の「９．補助事業期間中の研究実施計画」で挙げた課題に対応する.
(1) 有界領域における Fast diffusion 方程式の Cauchy-Dirichlet 問題に対する有限時間消滅解の漸近形への収束レートに関する定量的解析に関して、前年度までに得られていた結果を精密化し、符号変化解に対して結果を拡張する試みに取り組んだ。さらに得られた収束レートが（最小エネルギーを与える漸近形に関しては）最適なものであることを証明した。このことは Bonforte-Figalli 以来、未解決になっていた問題である。この結果は前川泰則氏（京都大学）との共同研究として得られたものであり、学術誌に投稿している。
(2) この課題は当初予定していたものは終了している. その後、Thomas Giletti 氏との議論によって forced travelling wave に関する問題が浮上し、予備調査を進めている。
(3) 有界領域における非局所非線形拡散方程式の Cauchy-Dirichlet 問題に対する有限時間消滅解の漸近形への収束について、一連の結果を整備した。ここで扱う方程式は分数冪ラプラス作用素を含むものであり、準線形放物型方程式に対する古典論が近似解の構成にすら利用できないなど、多くの問題を有している。Florian Salin 氏（東北大学）と共同で、基礎理論を整備し、得られた結果を学術論文に投稿した。この論文では主対象の問題の解決だけでなく、分数冪ラプラス作用素に対する関連研究にも進展が得られた。
(4) Stefan Neukamm 氏（ドレスデン工科大学）と共同で、強い不可逆性を拘束条件に伴うAllen-Cahn方程式に対する確率的均質化問題について研究を行い、予備的な結果を得た。今後、同問題の核心に向けて研究を進める予定である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初予定されていた研究課題のいくつかは完了しているが、研究期間中にあらたな研究課題が派生しており、それらも部分的に解決がなされた。特に Fast Diffusion 方程式の解の漸近形への収束レートの研究は、前川氏との共同研究で新たな展開を迎えており、今後、さらなる発展が期待される。またこの分野は世界的にも注目されており、すでに 2023 年に発表した論文の手法は Yamabe flow の研究や分数冪ラプラシアンを伴う非線形拡散方程式の研究にも応用がされるなど、急速に進展している。これらの流れをフォローしつつ、派生研究に取り組んでいきたい。また拘束条件付き Allen-Cahn 方程式の研究については、当初予定していたものは解決されているが、新たな課題が派生している。非局所非線形拡散方程式の研究は、基礎理論の確立と論文執筆に時間がかかっていたが、ようやく完成し、論文投稿にこぎつけた。このように本研究計画は順調に進展している。
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| 今後の研究の推進方策 |
Fast diffusion 方程式の解の漸近形への収束に関する定量的研究に関しては、Yamabe flow や分数冪ラプラシアンの問題など、関連テーマが浮上している。これらの問題に本研究で確立した最新の解析法が適用できるか、検討を進める。一方、勾配構造が表面的には存在しない放物型方程式に対しては同様の解析法が直接適用できないことが知られているが、それらの問題に対しても解の漸近挙動を明らかにすることは重要な課題であり、本研究課題からの派生的問題として、取り扱うことを検討している。2025 年 5 月に香港にて開催される国際会議では、当該分野の専門家（Matteo Bonforte, Tianling Jin, Jingang Xiong, Beomjun Choi 他）がさまざまな国から参加することになっており、その機会を活用して議論や情報交換を行う。さらに分数冪ラプラシアンを伴う非線形拡散方程式の理論は Salin 氏との共同研究によって（符号変化解まで扱えるような）基盤が確立したが、この枠組みは古典的な非線形拡散方程式にも直接適用できるものであり、古典論とは別の接近法を与えており、特に自己完結的な理論になっている点は特筆すべきであろう。不可逆的拘束条件を伴う Allen-Cahn 方程式に関しては Giletti 氏と予備的な検討を進めており、2025 年度も 10 月に札幌、11 月にフランスで会う機会を持ち、引き続き検討することになっている。また確率的均質化問題の研究は、Neukamm 氏らが開発した確率的 unfolding 法のベンチマークも兼ねており、当該問題の解決だけでなく、unfolding 法の応用可能性についても考察を行う。その他、代表者・分担者の海外派遣や海外の研究者の招聘を行い、国内外の研究者ネットワークの醸成に引き続き努める。
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