ガロア点理論とそれを核とした分野横断研究

• 研究課題/領域番号: 22K03223
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 山形大学
• 研究代表者: 深澤 知 山形大学, 理学部, 准教授 (20569496)
• 研究期間 (年度): 2022-04-01 – 2026-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2024年度)
• 配分額: 1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円); 2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円); 2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2023年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円); 2022年度: 130千円 (直接経費: 100千円、間接経費: 30千円)
• キーワード: ガロア点 / 自己同型群 / ガロア群 / 射影 / 正標数 / 自己同型 / 接的退化 / ガロワ点 / 有限体 / グラフ理論 / 代数幾何符号 / 代数曲線 / 有限数学

研究開始時の研究の概要

代数曲線の対称性を表現するガロア点の研究を行う. ガロア点理論と他分野（有限体上の有理点, 符号理論, 群論, 有限幾何）との関連が見出され, その理論の奥深さが認知され始めている.
代数曲線に対するガロア点配置の一般論を構築すること, ガロア点理論を核とした分野横断研究を推進すること, の２つを目的として研究を行う.
前者に関しては, ガロア点が一直線上になく, ３つのガロア点が三角形をなすときの幾何学を明らかにする. 後者に関しては, 有限数学, 群論, 組合せ論を中心に他分野とガロア点理論の相互作用を創出, 探索する. それによりガロア点理論を核とした分野横断研究を推進する.

研究実績の概要

代数曲線に対するガロア点配置の一般論の構築に取り組み、ガロア点理論を核とした分野横断研究を推進した。平面曲線に対して、射影平面内の点からの射影が誘導する関数体の拡大がガロアであるとき、射影の中心点をガロア点という。さらにガロア点が曲線の外にあるときは、外ガロア点と呼ばれる。令和６年度は次の３つの成果があった。
(1) 高橋剛氏との共同研究により、吉原久夫氏の予想「（標数零において）平面曲線の外ガロア点は最大で３個であろう」に関して、未解決で残されていたすべての状況を確定し、予想を肯定的に解決した。より正確には「２つの外ガロア点を結ぶ直線上に他に外ガロア点がないこと」「有理曲線に対して２つの外ガロア点が存在するときには平面曲線を定義するパラメータ（の射影同値類）が一意に定まること」の２つを証明した。
(2) non-classical自己同型を許容する平面曲線の研究を行った。特に、non-classical自己同型とガロア点の研究を関連づけた。代数曲線上の自己同型に対して曲線上の一般点の像がその点の接線上にあるとき、その自己同型はnon-classicalであるという。「標数零、非特異」または「正標数、非特異、ガロア点が存在」の仮定のもとでは、平面曲線にはnon-classical自己同型が存在しないことを証明した。
(3) 成果(2)と関連して、non-classical自己同型を利用した接的退化曲線の研究を行った。空間曲線に対して一般点での接線が再びもとの曲線と交わるとき、「接的退化している」という。楫元氏の予想「空間代数曲線に対してすべての超平面との接触度が標数で割れないならば、接的退化していない」に対して反例を提示することでこれを否定的に解決した。正標数のモノミアル曲線のなかに「すべての超平面との接触度が標数で割れない接的退化曲線」の例があることを示した。

現在までの達成度

2: おおむね順調に進展している

理由

上記(1)の成果により、標数零の外ガロア点配置問題（吉原の予想）が完全に解決した。よって、標数零で外ガロア点に限定すれば、研究目的の「ガロア点配置の一般論」が確立した。一般論の設定としては任意標数を想定していたが、研究計画当初、限定的とはいえ標数零で完成できるとまでは考えていなかった。これにより「フェルマー曲線の特徴づけ」に成功しているため、今後、フェルマーの最終定理に象徴される数論との関係が見出される可能性もあり、分野横断研究の意味でも有意な結果であると思われる。
上記(2)(3)の成果により、代数曲線に対するnon-classical自己同型の研究が進展した。(2)の平面曲線に対するnon-classical自己同型を研究した論文は、この概念が導入された1991年のLevcovitzの論文以降では他に見当たらないと思われる。平面曲線に対するnon-classical自己同型の研究を体系的に研究する道を切り拓いた成果と言える。また、(2)の成果は、non-classical自己同型とガロア点との関係性を世界で初めて明らかにした。分野横断研究として価値ある成果である。(3)の成果は楫氏の予想の反例を与えていることから、これまでの常識を覆した革新的な成果と言える。
以上の、ガロア点研究における進展、分野横断研究の推進から総合的に判断し、「おおむね順調に進展している。」に分類した。

今後の研究の推進方策

ガロア点研究とそれを核とした分野横断研究がいずれも順調に進展しているため、それらの拡張を重要な方向性の２つとしたい。３年間の成果により、ガロア点配置研究は「内ガロア点」または「正標数」への拡張が今後の課題であり、それら課題の難しさの内容（どこが無難しいか）も浮き彫りになってきた。標数零の外ガロア点におけるアイデアを利用しつつ取り組んでいきたい。分野横断研究については、2022年度に代数幾何符号の構成法、2023年度にグラフのガロア点理論、を発展させた。それら２点についての研究を進展させたい。これら２点について大きな成果が出ているのでそれらを中心として研究を進めるが、ガロア点と有限数学の他の対象（有限体上の関数、有限幾何など）との関係性についても研究を進める。

研究成果

• [国際共同研究] カンピーナス大学(ブラジル)
• [国際共同研究] サンパウロ大学/カンピーナス大学(ブラジル)
• [国際共同研究] サンパウロ大学/カンピーナス大学(ブラジル)
• [雑誌論文] Plane Curves Admitting a Non-classical Automorphism (2025)
  • 著者名/発表者名: Fukasawa Satoru
  • 雑誌名: Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, New Series 巻: 56 号: 1
  • DOI: 10.1007/s00574-024-00431-6
  • 査読あり
• [雑誌論文] A new characterisation of the Fermat curve (2024)
  • 著者名/発表者名: Fukasawa Satoru
  • 雑誌名: Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923 -) 巻: 203 号: 2 ページ: 635-646
  • DOI: 10.1007/s10231-023-01376-1
  • 査読あり
• [学会発表] ガロア点理論とそれの群論, グラフ理論との関係 (2024)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 第69回 代数学シンポジウム
  • 招待講演
• [学会発表] New examples of tangentially degenerate curves (2024)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 第22回代数曲線論シンポジウム
  • 招待講演
• [学会発表] New examples of tangentially degenerate curves (2024)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 晴ればれ岡山 代数幾何学シンポジウム
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] グラフのガロア点について (2024)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知, 三枝崎 剛
  • 学会等名: 日本数学会年会応用数学分科会
• [学会発表] Algebraic geometry codes with many automorphisms arising from Galois points (2023)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 早稲田整数論セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] グラフのガロア点について (2023)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 山形大学離散数理セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] グラフのガロア点について (2023)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 愛媛大学代数セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] グラフのガロア点について (2023)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 有限群論, 代数的組合せ論, 頂点代数の研究
  • 招待講演
• [学会発表] New examples of tangentially degenerate curves (2023)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 湯布院代数幾何学ワークショップ
  • 招待講演
• [学会発表] 外ガロア点配置によるフェルマー曲線の特徴づけ (2023)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 第27回代数曲面ワークショップ at 高知
  • 招待講演
• [備考] 深澤研究室
  • URL: https://sites.google.com/sci.kj.yamagata-u.ac.jp/fukasawa-lab