ガロア点理論とそれを核とした分野横断研究

• 研究課題/領域番号: 22K03223
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 山形大学
• 研究代表者: 深澤 知 山形大学, 理学部, 准教授 (20569496)
• 研究期間 (年度): 2022-04-01 – 2026-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2022年度)
• 配分額: 1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円); 2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円); 2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2023年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円); 2022年度: 130千円 (直接経費: 100千円、間接経費: 30千円)
• キーワード: ガロア点 / 自己同型群 / ガロア群 / 射影 / 正標数 / 有限体 / 代数幾何符号 / ガロワ点 / 代数曲線 / 有限数学

研究開始時の研究の概要

代数曲線の対称性を表現するガロア点の研究を行う. ガロア点理論と他分野（有限体上の有理点, 符号理論, 群論, 有限幾何）との関連が見出され, その理論の奥深さが認知され始めている.
代数曲線に対するガロア点配置の一般論を構築すること, ガロア点理論を核とした分野横断研究を推進すること, の２つを目的として研究を行う.
前者に関しては, ガロア点が一直線上になく, ３つのガロア点が三角形をなすときの幾何学を明らかにする. 後者に関しては, 有限数学, 群論, 組合せ論を中心に他分野とガロア点理論の相互作用を創出, 探索する. それによりガロア点理論を核とした分野横断研究を推進する.

研究実績の概要

代数曲線に対するガロア点配置の一般論の構築に取り組み、ガロア点理論を核とした分野横断研究を推進した。平面曲線に対して、射影平面内の点からの射影が誘導する関数体の拡大がガロアであるとき、射影の中心点をガロア点という。さらにガロア点が曲線の外にあるときは、外ガロア点と呼ばれる。令和４年度は次の２つの成果があった。
(1) 標数が零で曲線の種数が１以上のとき、外ガロア点が一直線上にない（外ガロア点がトライアングルをなす）場合はフェルマー曲線に限定されることを証明した。これは吉原久夫氏の予想「外ガロア点は最大で３個であろう」に対する部分的解決に相当する。一方、フェルマー曲線の新しい特徴づけを与えている点も、数論の立場から注目に値するものと思われる。
(2) ２点の外ガロア点とそれらが誘導する自己同型群を利用することにより、自己同型を伴う代数幾何符号の構成法を提案した。1990年の Stichtenoth の論文により、代数曲線の自己同型が、代数幾何符号の自己同型を自然に誘導する条件が調べられている。その条件のひとつは「代数曲線符号を作る因子 D が自己同型によって不変である」というものである。外ガロア点に付随する自己同型はこの条件を満たす典型例であることも同時に指摘している。
科学研究費補助金の前倒し請求が許可され、2023年2月3月の研究支援者の雇用に充てることができた。研究支援者と上記２つの研究に関して議論を行うことができ、証明に関して論理の整理や再現性の確認を行うことができた。

現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

「ガロア点がトライアングルをなすときの状況の整理」は本研究課題における重要な問題と位置づけている。上記(1)のフェルマー曲線に関する結果は、標数零におけるこの問題の完全解決を意味する。この問題の設定としては任意標数を想定していたが、研究計画当初、限定的とはいえ標数零で解決できるとまでは考えていなかった。また「フェルマー曲線の特徴づけ」に成功しているため、今後、フェルマーの最終定理に象徴される数論との関係が見出される可能性もあり、分野横断研究の意味でも有意な結果であると思われる。
上記(2)の外ガロア点とその自己同型群から誘導される代数幾何符号の構成は、まさしく「分野横断研究」である。これまでに知られている「ガロア点と符号理論の関係」においては、ガロア点は「符号長」に関係する有理点としての役割であった。今回はそれと異なり、「符号の対称性」を表現する群という位置づけである。代数幾何符号で真っ先に利用される「一点符号」のかなりの族を本構成法でもカバーできており、今後の進展が大いに期待できる。
ガロア点自身の研究とそれを核とした分野横断研究、いずれにおいても革新的なアイデアのもと進展したため、総合的に「当初の計画以上に進展している。」に分類した。

今後の研究の推進方策

ガロア点研究とそれを核とした分野横断研究がいずれも順調に進展しているため、それらの拡張を重要な方向性の２つとしたい。標数零で解決した「外ガロア点がトライアングルを成す状況の整理」を正標数でも行いたい。また、同様の問題を内ガロア点についても考えたい。分野横断研究については、今年度発見した代数幾何符号の構成法を色々な代数曲線について試したい。それを中心として、ガロア点と有限数学の他の対象（有限体上の関数、有限幾何など）との関係性についても研究を進めたい。

研究成果

• [国際共同研究] サンパウロ大学/カンピーナス大学(ブラジル)
• [学会発表] New examples of tangentially degenerate curves (2023)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 湯布院代数幾何学ワークショップ
  • 招待講演
• [学会発表] 外ガロア点配置によるフェルマー曲線の特徴づけ (2023)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 第27回代数曲面ワークショップ at 高知
  • 招待講演
• [備考] 深澤研究室
  • URL: https://sites.google.com/sci.kj.yamagata-u.ac.jp/fukasawa-lab