| 研究課題/領域番号 |
22K03224
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
石井 志保子 東京大学, 大学院数理科学研究科, 名誉教授 (60202933)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2024年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2022年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | 特異点 / minimal log discrepancy / 正標数の双有理幾何学 / 弧空間 / log canonical threshold |
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| 研究開始時の研究の概要 |
標数０の体上定義された多様体の特異点は，色々なツール（特異点解消，Bertini の定理，コホモロジー消滅定理など）が使えるので詳しく研究されてきたが，正標数の体上定義された多様体の特異点はこれらのツールが使えないので同様の結果は得られていない．
そこで標数０の特異点の不変数に関して示されている結果に直接橋をかけて，正標数の特異点の不変数の情報を得ようとするのがこの研究である．
標数に関わりなく特異点の不変数が弧空間の言葉で表現できることから，これが橋渡しの役目を果たすだろうという発想からきている．
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| 研究実績の概要 |
Smooth variety とその上の coherent ideals の実指数を許した形式的積の対のminimal log discrepancy (mld と略記)のなす集合のいろいろな性質：①指数を固定した時の有限性，②指数がDCC を満たす集合を動く場合mld の就業はACC を満たす（ ACC 予想）③指数を固定するとmld をcompute する因子を得るためのblow up の回数は有界である．(MN予想）など，双有理幾何学において重要な問題である．
①については基礎体の標数が０の場合は証明されているが，②や③は基礎体の標数が０の場合でも未解決である．しかし標数が０の場合は特異点解消や，Bertini の定理，小平型のコホモロジー消滅定理などがあるため，比較的優しいと予想されている．
本研究ではこれらの問題を正標数の場合に考える．「標数０の場合にこれらの性質が成立すれば自動的に正標数の場合も成立する」という構造を目指している．
現在のところ，smooth variety とその上のcoherent ``fractional ideals" の実指数を許した形式的積の対のminimal log discrepancyについて標数０で①②③が成立すれば正標数の smooth variety とその上のcoherent idealsの対に対して①②③が示されるところまで得られた．
これらの結果を，2021年フランスのLuminy 研究所，2022年米国のJohns Hopkins 大学の研究集会で発表した．また2023年3月に東京大学においてMini workshop on singularities を主催し，特異点の専門家たちと研究交流し最新の成果についての情報交換をした．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
COVID-19 のため多くの研究集会が中止，あるいは延期となったが，その間オンラインなどで情報交換を試み，十分とは言えないまでもそれなりの成果は得られた．また最近は対面でのセミナーや集会も増え研究活動は活発化してきている．
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| 今後の研究の推進方策 |
標数０のfractional ideal の研究を進め，これまで構築した橋渡しが正標数の結果に生きるように展開する．
一方で 標数０のideal と正標数のideal との間の橋渡しを，これまでと異なるglobal な方法で構築する試みを進める．
再開された対面の研究集会に積極的に参加し，成果を発表していく予定である．
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