| 研究課題/領域番号 |
22K03225
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 富山大学 |
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研究代表者 |
山根 宏之 富山大学, 学術研究部理学系, 教授 (10230517)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2024年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | ホップ代数 / リースーパー代数 / ワイル亜群 / 一般化された量子群 / ハミルトン閉路 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
1990 年代にスーパーリー代数の表現論の研究が進み、それらの既約表現に対して様々な指標公式が発見されてきた。研究代表者は双指標と呼ばれるデータχ から定義される一般化された量子群U(χ) の構造論および表現論を研究してきた。最近、有限型のU(χ) のtypicalと呼ばれるクラスの指標公式を求めた。次の研究の主な目的はアファインU(χ)の適切に定義を見つけてその構造を調べ、typicalの概念を整備し指標公式を求める事である。
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| 研究実績の概要 |
一般化された有限ルート系から決まるワイル亜群の有限グラフのハミルトン閉路の存在性を示した。ルート系は元々は複素単純リー代数の分類に使われた。ルート系にはユークリッド内積が入り、その内積に対する反射を利用して抽象ルート系が分類され、それを利用して複素単純リー代数の分類された。リー超代数のルート系（ここではスーパールート系と呼ぶ）は抽象ルート系ではなくて奇反射と呼ばれる反射の下では対称ではない。スーパールート系の一般化として一般化されたルート系の公理がHeckenbergerと山根によって提案された。一般化された有限ルート系の分類はCuntzとHeckenbergerによって実行された。抽象ルート系に対するワイル群が単純反射を生成系とするコクセター関係式で実現される様に、一般化されたルート系に対してワイル亜群が定義され単純反射を生成系とするコクセター関係式で実現される。但し亜群であるので単位元が複数あり単位元ごとにコクセター関係式が異なる。有限ワイル群のケイリーグラフのハミルトン閉路の存在性は他の研究者によってなされている。山根は一般化された有限型量子群に付随する有限ワイル亜群のケイリーグラフのハミルトン閉路の存在性を示した論文を出版した。井上鷹斗と山根は一般化された有限型量子群に付随しない有限ワイル亜群のケイリーグラフのハミルトン閉路の存在性を示したプレプリントを書いた。ランク２のときはそのケイリーグラフはサークルなので明らかにハミルトン閉路は存在する。ランク３のときはMathematicaを直接用いてハミルトン閉路を実際に求めた。ランク４のときはMathematicaを用いながら従来のよく知られた手法でハミルトン閉路を実際に求めた。ランク５以上のときは存在性を示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
任意の一般化された有限ルートに対するワイル亜群のケイリーグラフのハミルトン閉路の存在性を証明したプレプリント（プレプリントサーバーarXivに置いた）を書いた。
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| 今後の研究の推進方策 |
アフィン型の一般化された量子群U(x)の普遍R行列の構成に取り組む。アフィン型の一般化されたワイル亜群W(x)について研究をする。W(x)の基本ウエイトの被約表示ついて研究をする。その被約表示を用いて普遍R行列をBeckの手法で書き下す。一般化された量子群U(x)のLusztig同型はよく知られている。しかしながら、山根が１９９９年の論文でU(x)がアフィンスーパー量子群に対して示したHopf代数の捩れ化を利用する方法とは異なる方法でLusztig同型の存在性が示された。任意の一般化された量子群U(x)のLusztig同型の存在を捩れ化によって行うことを目的とする。この目的の為にweightに関する無限和が必要であるが、同時にh進位相に関する無限和を考察することも有効だと思われる。
ハミルトン閉路についてはランク５の一般化されたワイル亜群W(x)のケイリーグラフのハミルトン閉路を実際に求めることを目的とする。3連結3正則平面的2部グラフはハミルトン閉路をもつというBarnette予想との関連についての研究をする。
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