研究課題/領域番号 |
22K03225
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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研究機関 | 富山大学 |
研究代表者 |
山根 宏之 富山大学, 学術研究部理学系, 教授 (10230517)
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研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2024年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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キーワード | ホップ代数 / リースーパー代数 / ワイル亜群 / 一般化された量子群 / ハミルトン閉路 |
研究開始時の研究の概要 |
1990 年代にスーパーリー代数の表現論の研究が進み、それらの既約表現に対して様々な指標公式が発見されてきた。研究代表者は双指標と呼ばれるデータχ から定義される一般化された量子群U(χ) の構造論および表現論を研究してきた。最近、有限型のU(χ) のtypicalと呼ばれるクラスの指標公式を求めた。次の研究の主な目的はアファインU(χ)の適切に定義を見つけてその構造を調べ、typicalの概念を整備し指標公式を求める事である。
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研究実績の概要 |
Kを体とする。ホップ代数Hとは、代数の群の公理を代数的に拡張した概念である。ホップ代数は環であるが体K上のベクトル空間でもあるので結合的K代数である。さらに、その双対の構造も代数的な構造が入り、それはテンソル積H\otimes Hの構造を通して公理化されている。HをK上のホップ代数とする。H\otimes Hの元Rを(小さな)R-行列とする。そのようなRを用いてHに別のホップ代数の構造を入れることが出来る。それをホップ代数のねじれ化という。Hが有限次元のときはRは有限和で表せるので、ねじれ化の操作は数学的に問題は生じない。しかし、Hが無限次元でRが(仮想的には)無限和であるときは、その無限和を正当化するために、Hを修正する必要がある。ホップ代数である量子群U_qのときには、U_qのh-進位相の下での完備化であるドリンフェルドのh-進位相的量子群U_hを考えることによってねじれ化は数学的に意味を持つ。またU_q自身のウェイトに対する位相を考えてねじれ化を数学的に意味を持たせることも知られている。本研究ではUqの多変数化の拡張である一般化された量子群U(\chi)に対してウェイトに対する位相を考えてねじれ化を研究した。とくにU(\chi)がアフィンA^(1)_1型のときのU(\chi)の普遍R-行列の構成のためにそれを研究した。応用のためにU(\chi)のウェイトに対する位相およびh-進位相を同時に考える必要がある。 U(\chi)にはWeyl亜群が構造が付随している。大学院修士課程の学生と共同でU(\chi)に付随していないWeyl亜群のケーレーグラフのハミルトン閉路の研究を行った。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
主にA_1^{(1)}型量子群の普遍R行列を構成しようとしているが、大変計算が複雑で時間がかかかっている。しかしながら一般化された量子群に付随しないWeyl亜群のハミルトン閉路の研究におおいな進展があった。
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今後の研究の推進方策 |
A_1^{(1)}型量子群の普遍R行列を構成についての研究を進める。Weyl亜群のケーレーグラフの隣接行列の固有値の研究に着手する。一般化された量子群にふずいしないWeyl亜群のハミルトン閉路に関するプレプリントを作成する。
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