| 研究課題/領域番号 |
22K03231
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 佐賀大学 |
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研究代表者 |
中村 健太郎 佐賀大学, 理工学部, 教授 (90595993)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2024年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 岩澤主予想 / 局所イプシロン予想 / (phi, Gamma)加群 / オイラー系 / p進L関数 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
これまで行ってきた局所イプシロン予想とゼータ元の構成の応用として、Coleman-Mazur固有曲線上の岩澤主予想を研究する。特に、近年発見されたAdic固有曲線上にp進L関数を構成し、これを用いて岩澤主予想に対して新たな応用があるかどうかを探る。また、保型形式に対する岩澤主予想の解決のために、普遍変形のゼータ元の法p非消滅性について研究する。さらに、局所イプシロン予想をEmerton-Geeスタック上に拡張する研究も並行して行う。
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| 研究実績の概要 |
今年度の研究実績の概要は(1)論文「Zeta morphisms for rank two universal deformations」 の出版, (2)ドラーム(phi, Gamma)加群に対する局所イプシロン予想のp進微分方程式(Hodge-Tate重みが0のドラーム(phi, Gamma)加群)の場合への帰着（佐賀大学の石田哲也氏との共同研究）の論文の改訂, (3) 局所イプシロン予想を用いたRubin予想へのアプローチの3点である.
まず, (1)については改訂版がアクセプトされ「Zeta morphisms for rank two nuversal deformations」というタイトルの論文がInventiones Mathmaticaeに出版された. (2)については「Local epsilon-conjecture and p-adic differential equations」という論文の改訂作業を行いDocumenta Mathematicaにアクセプトされた. (3)は九州大学の小林真一氏、大阪大学の太田和惟氏、Texas大学at AustinのAshay Burungaleとの共同研究である。Rubin予想とは、虚二次体の1次反円分岩澤コホモロジーの分解に関する予想（岩澤コホモロジーは岩澤代数上階数2になるが、反円分指標たちのイプシロン因子のプラスマイナスの情報を用いて階数1の直和に分解できる、という予想）であり、最近小林-太田-Burungaleの3名によって証明されその論文はAnnals of Mathに掲載された。この定理（の一般化）と私が以前証明した階数2の局所イプシロン予想との関係を明らかにし、さらにRubin予想の別証明を与えることを最初の目的として共同研究を始めることとなった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
(1)(2)は改訂に予想以上に時間がかかったが無事にアクセプトされ新たな研究に落ち着いて着手できる状況になった。
現在、旧来から構想中のEmerton-Geeスタック上の局所イプシロン予想の研究と並行して、小林-太田-Burungaleとの共同研究(3)が始まった。これは当初は想定していなかった「岩澤主予想と局所イプシロン予想の新展開」であり、今後時間をかけて研究を進展させていきたいと考えている。(3)の共同研究について現在までに；階数2の局所イプシロン同型（これは私が以前の研究で定義した）から、階数2の自己双対的なガロア表現Vの1次コホモロジーに標準的なinvolutionが定まり、これのプラスマイナスパートによって1次コホモロジーが階数1の二つの部分加群の直和に分かれることを証明した。また、Vがドラーム表現の場合はBloch-加藤の局所条件を定める一次の部分空間H^1_fがあるが、これがVの局所イプシロン因子のプラスマイナス(とHodge-Tate重みの情報)によってプラスマイナスのいずれかと一致することを示した。（まだ細部はチェックしていないが）この二つの結果を反円分の岩澤コホモロジーに適用すれば、Rubin予想の別証明が得られ、さらにpでの分岐の条件(Rubin予想ではpでクリスタリンを仮定していた)を外すことができる。
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| 今後の研究の推進方策 |
(3)の共同研究のH^1のプラスマイナス分解の応用として、岩澤主予想とparity予想への応用を共同研究者とともに考えていきたい。まず、H^1のRubin分解を証明した論文で、小林-太田-Burungaleはプラスマイナス分解を用いてpでの局所条件を定め、付随するセルマー群の岩澤主予想を証明している。この結果の、pでクリスタリンとは限らない反円分岩澤コホモロジーの場合への拡張、さらには反円分とも限らない一般の自己双対的な2次元表現の場合の岩澤主予想への拡張などを考えていきたい。parity予想については、プラスマイナス分解とMazur-Rubinのarithmetic local invariantとの関係を調べることで、arithmetic local invariantと局所イプシロン因子の符号に関するNekovarの予想を(階数2の場合に)解決し、Nekovarの方針にそってparity予想の結果（特に、合同な2つのp進表現について, parity予想の成立が同値であること）の拡張を目指す。また、Nekovarの予想は固定した法p表現と合同な二つのp進表現についての局所イプシロン因子の符号についての予想であるが、これを法p表現を固定しない場合に拡張することも個人的に興味深い問題と考えている。その問題は、局所イプシロン予想のEmerton-Geeスタックへの拡張の問題とも密接に関わっているので、階数2の局所イプシロン予想のEmerton-Geeスタックへの拡張の研究も並行して行いたい。
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