| 研究課題/領域番号 |
22K03231
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 佐賀大学 |
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研究代表者 |
中村 健太郎 佐賀大学, 理工学部, 准教授 (90595993)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2024年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 岩澤主予想 / オイラー系 / 局所イプシロン予想 / p進L関数 / (phi, Gamma)加群 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
これまで行ってきた局所イプシロン予想とゼータ元の構成の応用として、Coleman-Mazur固有曲線上の岩澤主予想を研究する。特に、近年発見されたAdic固有曲線上にp進L関数を構成し、これを用いて岩澤主予想に対して新たな応用があるかどうかを探る。また、保型形式に対する岩澤主予想の解決のために、普遍変形のゼータ元の法p非消滅性について研究する。さらに、局所イプシロン予想をEmerton-Geeスタック上に拡張する研究も並行して行う。
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| 研究実績の概要 |
今年度の研究実績の概要は(1)論文「Zeta morphisms for rank two universal deformations」 の改訂, (2)Coleman-Mazur 固有値曲線上のp進L関数の構成(KIAS, Chan-Ho Kim氏との共同研究), (3)ドラーム(phi, Gamma)加群に対する局所イプシロン予想のp進微分方程式(Hodge-Tate重みが0のドラーム(phi, Gamma)加群)の場合への帰着（佐賀大学の石田哲也氏との共同研究）, の3点である.
まず, (1)についてはレフェリーコメントで説明不足を指摘された点全てについて説明を追加し改訂版を再投稿した. (2)については, (通常の)Q_p上のColeman-Mazur固有値曲線の場合については, 概ね論文は完成した. 前年度から改良した点として, 保型形式のp進L関数は, 周期の選び方(Betti-構造の基底の選び方)などに依存するため標準的ではないのであるが, Coleman-Mazur固有値曲線上のガロア表現に対するKedlaya-Pottharst-Xiaoの研究で構成されているColeman-Mazur固有値曲線上のある直線束などが, 全ての保型形式のp進L関数の依存項を統制しているという事実に気付き, その結果, Coleman-Mazur固有値曲線上の(周期の選択などによらない)標準的なp進L関数を構成することができた. (3)については「Local epsilon-conjecture and p-adic differential equations」という論文を完成させ論文誌に投稿した. その中で, 解析的な岩澤代数の元として定まる微分作用素とBloch-加藤exponentialおよび双対exponentialとの関係に関するある定理を今年度新たに証明した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
上記(1), (2), (3)などに時間が割かれてしまい, 当初計画していたEmerton-Geeスタック上への局所イプシロン予想の研究には着手できなかった. しかし, (2), (3)においてもそれなりに意味のありそうないくつかの新たな発見ができたので研究全体としては進捗していると言っても良さそうである. 例えば, (2)では, Coleman-Mazur固有値曲線上グローバルにp進L関数が存在しているという結果を得た. 従来までに知られているColeman-Mazur固有値曲線上のp進L関数(例えば, Stevens-Pollack, Bellaicheなど)は, 各保型形式に対応する点の十分小さい近傍上でしか存在が知られておらず, グローバルにp進L関数を構成したのは本研究が初めての結果であると思われる. また, (3)では, 解析的な岩澤代数の元として定まる微分作用素とBloch-加藤exponentialおよび双対exponentialとの関係に関するある定理を今年度新たに証明した. 特に, 微分作用素の「微分」がBloch-加藤exponentialと双対exponentialを結び付ける, という定理を証明しているが, この定理は本論文において非常に重要であるのみならず, Perrin-Riou exponentialのBloch-加藤exponentialと双対exponentialの補間性質の源にもなっているものである.
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| 今後の研究の推進方策 |
Emerton-Geeスタック上に局所イプシロン予想を拡張するために, Colmezの乗法的畳み込み積を係数がp進完備な環上のエタール（phi, Gamma)加群に対して拡張する. このためには, 剰余体が有限のアルティン局所環係数のエタール（phi, Gamma)加群の場合にColmezが構成した位相的に良い性質を持つ様々な部分加群の構成をp進完備な環上の場合へ拡張する必要がある. これは結局はpべき捻れの離散的な環上のエタール（phi, Gamma)加群の場合に帰着されるので, その場合にColmezの構成の拡張を行う. また, 局所イプシロン予想の定式化の性質から, この予想で存在が予想されている局所イプシロン同型は, 実際にはスタック上ではなくあるスキームを経由して, そのスキーム上に存在していると考えるのが自然であるという認識に至った. これについての考察を深めていく.
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