| 研究課題/領域番号 |
22K03233
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 鹿児島大学 |
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研究代表者 |
松本 詔 鹿児島大学, 理工学域理学系, 教授 (60547553)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2026年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2025年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 対称群の表現 / ヤング図形 / 射影表現 / ランダム行列 / Weingarten calculus / 対称群 / 既約指標 / 対称関数 / 漸近的表現論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ランダムに振る舞うヤング図形と、ランダム行列について研究する。これらは異なる対象物であるが、確率論的性質として似た現象が見られることがよく知られている。ランダムヤング図形に関して、重要なものは対称群既約指標のヤング図形が大きいときの漸近挙動である。ランダム行列では固有値の分布が特に重要であるが、その行列成分の同時分布が近年盛んに研究されている。これら２つの問題は密接に関わっており、同じ手法が使える場合がある。
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| 研究実績の概要 |
本研究課題は、ランダム行列とランダム分割、およびそれらに関連した問題に対し、組合せ論および表現論の視点に基づいた研究を行うことを目的としている。とりわけランダム行列分野では、これまでの延長として、Weingarten calculus の発展、例えばその広い分野への応用を模索する。
2023年度の主な実績は、２つの大きな研究集会での研究発表である。一つ目は京都大学で開催されたランダム行列に関する国際研究集会において、Piotr Sniady氏との近年の共同研究であるランダム・シフトヤング図形の研究をまとめ発表した。２つ目は沖縄で開催された表現論シンポジウムにおいて、２時間にわたる概説講演を行なった。ランダム・シフトヤング図形の話題に加えて、それ以前の研究である正規化指標のKerov多項式やStanley指標公式など、広い話題について解説をし、20ページ程度の講演概要を作成した。
その他、昨年度に受理された論文が一つ出版された。Weingarten calculusの研究について、これまでにない、行列のサイズに関する帰納的な等式を発見、証明した。N次のハール・ユニタリ行列は、(N-1)次のハール・ユニタリ行列を自然にサイズNにみなしたものと、もう一つのあるユニタリ行列の積と同分布になる。このことを利用して、N次ユニタリ行列の多項式関数の期待値を、より小さいサイズのユニタリ行列の期待値として表現できる。この結果は、まだ論文にまとめるには至っていない。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
今年度は研究の進展よりも、これまでの研究のまとめ、自身の理解の浅い部分を補完することに力を注いだ。共同研究の研究打ち合わせなどは進んでいる。
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| 今後の研究の推進方策 |
Weingarten calculusは、ランダム行列の行列成分に関する多項式の期待値を計算する手法である。ランダム行列のサイズNと多項式の次数kが重要である。以前、kに関する帰納的な式を構成したが、今回はNに関する帰納性を探している。簡単な等式は発見したが、これを応用し、相対的にサイズの小さいランダム行列の研究に利用したい。まずはユニタリ行列、それが進展すれば、直交行列に拡張することは難しくないだろう。
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