研究課題/領域番号 |
22K03235
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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研究機関 | 大阪公立大学 |
研究代表者 |
古澤 昌秋 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50294525)
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研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2024年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2023年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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キーワード | 保型L函数 / L函数の特殊値 / ジーゲル保型形式 / 代数学 / 数論 |
研究開始時の研究の概要 |
「数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である。」という言葉がある。研究者の純粋な知的探究心を原動力として発展してきた数論であるが、それと同時に、インターネット通信を支える暗号理論に見られるように、発見の当事者の思いも寄らない形で社会の発展に大きく貢献してきた。 現代の数論は、ゼータ函数の研究である、といっても過言ではない。そして、保型L函数がその中心的対象となっている。本研究は、数論的情報を豊富に内包していると考えられる、保型L函数の特殊値を調べようというものである。その成果には、今後の数論の発展への寄与が期待される。
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研究実績の概要 |
ベッヘラー予想 (Boecherer's Conjecture)のトーラス上の指標が非自明な 場合への拡張、すなわち、一般化されたベッヘラー予想について、森本和輝(神戸大学)との共同研究によって論文を完成した。論文はarXivにアップロードされ、さらに、国際学術誌に投稿され、査読を受けているところである。応用上、重要であると思われる、アーベル曲面と関係すると予想される重さ2の場合もtemperedの仮定のもとで含むことができた。また、ベクトル値ジーゲル保型形式の場合を含む形で証明し、明示公式における2ベキに関する曖昧さも解消できた。この結果には、今後様々な応用が期待される。 ポアンカレ級数との関連について、先行研究を調べてみた。研究代表者がShalikaとの共同研究で得た、行列変数のKloosterman和の明示公式を用いたものは、先行研究には見当たらなかった。具体的な研究の進行方向はまだ、はっきりとはしていないが、研究を継続して行く予定である。 関連した問題として、代数的保型形式(コンパクト群上の保型形式)の周期と保型L函数の関係についての検討をKimball Martinと行った。いくつかの例について考察したが、具体的に保型L函数の特殊値と結び付けられる例は見つけられなかった。検討を続けたい。 COVID-19の影響によって、対面で、この研究成果を国内外に発信することは難しかったが、令和5年になってから、1月に京都大学で開催された研究集会「保型形式と数論」と3月にドイツのPaderborn Universityで開催された研究集会「Special Values of L- functions」において、一般化されたベッヘラー予想についての講演を行うことができた。Paderbornにおいては講演後、多くの質問を受けた。関心の高さを示しているものと思う。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初考えていたよりも、ずっと時間がかかってしまったが、満足の行く形で論文にまとめられたことは大いに評価して良いと思う。
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今後の研究の推進方策 |
ポアンカレ級数との関連については、他のいくつかの群に関しても研究が行われている。しかし、これらの場合については、Kloosterman和自体が複雑でわかりにくいものになっている。また、次数2のジーゲル保型形式の場合についても、先行研究よりも詳しい形でのKloosterman和の明示公式が使えるかもしれないので、その点を調べてみたい。
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