| 研究課題/領域番号 |
22K03237
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 津田塾大学 |
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研究代表者 |
原 隆 津田塾大学, 学芸学部, 准教授 (40722608)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2026年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | L 関数の特殊値 / ホイッタッカー周期 / p 進 L 関数 / CM体 / Davenport-Hasse の関係式 / Gel'fand-Tsetlin 基底 / 局所 ε 因子 / p進L関数 / 保型表現 / 高階代数群 / 臨界値 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
近年，高階代数群の保型表現に対する p 進 L 関数が次々と構成されるなど，保型表現論が p 進 L 関数の構成に応用されるようになってきた．本研究では，保型表現論 (特に保型 L 関数の理論) を駆使して，様々な p 進 L 関数を“精密な形で”構成することを目指す．具体的には
(1) 一般線形群にまつわる保型表現の p 進 L 関数の構成および精密化
(2) CM 体の非可換 p 進 L 関数の補間公式の定式化および構成
の2つの課題の達成を目標として研究を進める．
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| 研究実績の概要 |
2022年度は，主に
(a) GL(n) × GL(n-1) の Rankin-Selberg L 関数の臨界値の一様整性 (北里大学 宮﨑 直准教授，東京電機大学 並川 健一准教授との共同研究)
(b) CM 体の p 進アルティン L 関数の構成 (東京工業大学 落合 理教授との共同研究)
の2つの研究に従事した．(a) に関しては，議論の細部の検証も進み，論文も大方完成に近い状態に漕ぎ着けることができた．現状では，有理的 Gel'fand-Tsetlin 基底を用いて局所系に導入した整構造の係数環の降下について，検証を進めているところである．保型表現に付随する局所系への整構造の導入については，非常に繊細な問題であるため慎重な議論が求められるが，今後 p 進 L 関数の構成などの課題に取り組む際にも重要な課題となると思われるため，早期の完成を目指したい．(b) についても論文の執筆が進み，特に代数的議論に関してはほぼ検証が完了した．一方で解析的議論については，特に p 上の局所イプシロン因子の貼り合わせの議論が不十分であることが判明したため，修正を試みたが2022年度中に問題を解消することは叶わなかった．今後，非可換岩澤理論の文脈で，様々なモチーフのアルティンモチーフによる捻りに対する L 関数の特殊値の p 進補間を考察する際に，局所イプシロン因子の貼り合わせの議論は避けることができない重要な課題と位置付けられるため，具体例の計算などを手がかりに早急な解決を図りたい．なお，2022年度は精力的に研究集会等での研究発表を行い，研究成果の発信 (特に (a) に関して) に努めた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
現在遂行中の2つの研究課題については，幾つか課題が残ってはいるもののほぼ完成の段階にまで漕ぎ着けることができており，これらの研究の完了後に取り組む課題の見通しも立っていることを考えると、研究の進捗はおおむね順調に進展していると判断される．
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| 今後の研究の推進方策 |
まずは (a), (b) それぞれの研究において残された課題 (局所系の整構造の係数環の降下，および p 上の局所イプシロン因子の貼り合わせ) の早期解決を目指す．(a) については，同様の手法が GL(n) × GL(n) の Rankin-Selberg L 関数の臨界値の一様整性など，他の対象にも適用範囲を広げられることが期待されるため，引き続き研究を進めていく．(b) については，p 進 L 関数の補間公式の貼り合わせの議論を応用して，CM 体の非可換岩澤理論 (特に主予想の定式化等) について本格的に研究に着手したい．
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