| 研究課題/領域番号 |
22K03241
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
齋藤 睦 北海道大学, 理学研究院, 教授 (70215565)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2025年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | A-超幾何微分方程式系 / フロベニウスの方法 / A-超幾何系 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
多項式の次に重要な関数として，超幾何関数というのがある。その一つの定義の仕方に微分方程式によるものがある。この超幾何微分方程式を多変数に拡張したものとして，A-超幾何系があり，その性質は組み合わせ的な言葉で記述できる筈であることは分かっている。
この研究では，実際に組み合わせ的な言葉で具体的に記述することと，一般的な解を微分することによりlogも含む解を構成するというフロベニウスの方法を用いてA-超幾何系の解空間を記述することを目的とする。
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| 研究実績の概要 |
ゲルファント流のA-超幾何微分方程式系は，トーリックイデアルで定義されてあり，代数幾何学におけるトーリック多様体のように，種々の不変量が組み合わせ的言葉で記述できる。パラメータがジェネリックの場合は，ある程度記述できているが，パラメータがレゾナントのときは，容易ではない。以前，A-超幾何微分方程式系の分類を考察したときに定義した組み合わせ的な概念（Aの生成する半群，Aの面，パラメータベクトルによる）で，A-超幾何微分方程式系の全ての不変量は記述できる筈で，それらの記述を行うことが本研究の目的である。とりわけ，ランクの簡便な記述を目的とする。
また，A-超幾何微分方程式系の解の具体的記述も目的である。特に，フロベニウスの方法を用いたlog解の構成を行い，基本解の構成を目指す。
2022年度においては，主に最も基本的なA-超幾何微分方程式系である青本-ゲルファント系について考察した。解の構成やその他の概念においてもAの凸包の3角形分割を考えることをしなければいけない。（正則）3角形分割全体を記述するのがセカンダリー・ファンと呼ばれるものだが，最も基本的な青本-ゲルファント系でさえ，具体的には良く分かっていない。青本-ゲルファント系のAの凸包の3角形分割として良く知られたステアケース3角形分割というものがある。しかし知られていることだが，Aの凸包が（2次元の）3角形の直積になるような非常に小さい場合でさえステアケースでない3角形分割がある。その例について確認した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本年度は，もともと予備的な研究の予定であったが，先行研究に追いつくところで終わってしまった。
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| 今後の研究の推進方策 |
青本-ゲルファント系のAの凸包の3角形分割について，ステアケースでない3角形分割を系統的に考察する。
A-超幾何微分方程式系については，フロベニウスの方法の定理のさらなる改良と重要な特殊例への適用を多数行いたい。
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