| 研究課題/領域番号 |
22K03246
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 滋賀大学 |
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研究代表者 |
長谷川 武博 滋賀大学, 教育学系, 教授 (80409614)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
2022年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
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| キーワード | Carlitz 加群 / 対数型超幾何関数 / 指数型超幾何関数 / 超特異多項式 / モチーフ / 代数点 / 特殊値 / モチーフ理論 / 周期解釈 / 超越数 / カーリッツ加群 / 線型独立性 / 代数的独立性 / ドリンフェルト加群 / 超幾何関数 / モジュラー曲線 / ドイリング型定理 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
これまでに応募者は，楕円曲線（種数 1 の代数曲線）に関する Deuring の定理を，一般種数 g の代数曲線の場合に高次元化（高次元化定理）し，また同定理を，階数 2 の Drinfeld 加群の場合に関数体化（関数体化定理）した．本研究では，関数体化定理を一般階数 r の Drinfeld 加群の場合に高次元化する．研究方法は，高次元化定理と関数体化定理とを平面ベクトル的に足し合わせることによって進める．
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| 研究実績の概要 |
出版・受理・投稿中など：「The limit theorem with respect to the matrices on non-backtracking paths of a graph」というタイトルの共著論文を「Annals of Combinatorics」というジャーナルから出版．「Explicit formulas for the exponential and logarithm of the Carlitz-Tate twist, and applications」というタイトルの単著論文が「Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux」というジャーナルに受理された．「Lattice sums of I-Bessel functions, theta functions, linear codes and heat equations」というタイトルの共著論文を投稿中．
投稿準備中：「モチーフ化された対数型超幾何関数の代数点における特殊値の代数性の研究」を深めた．Anderson-Brownawell-Papanikolas 理論（2004）および Papanikolas 理論（2008）がキーとなった．超幾何関数の上段パラメータの個数を A とし，下段のそれを B とする．具体的には研究実績は以下．(1) 任意の A と B に対し，代数点での特殊値が代数的であるための必要十分条件を与えた．(2)パラメータの個数が「A = B + 1」をみたすとき，パラメータにギャップ（gap）という概念を導入し，「ギャップの言葉」で代数点での特殊値が代数的であるための十分条件を与えた．ギャップ集合が非空のとき，ある代数方程式の根をのぞいた代数点での特殊値が超越的であることを証明した（必要条件）．
「A = B + 1」のとき，モチーフ化された指数型超幾何関数の代数点での特殊値の代数性を再証明した．具体的には以下：「A = B + 1」をみたすとき，「ギャップの言葉」で代数点での特殊値が代数的であるための十分条件を与えた．ギャップ集合が非空のとき，ある代数方程式の根をのぞいた代数点での特殊値が超越的であることを示した（必要条件）．これらはすでに R. Harada によって証明されているが，われわれの証明は初等的である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
(1) 「Explicit formulas for the exponential and logarithm of the Carlitz-Tate twist, and applications」というタイトルの単著論文が受理された．
(2) モチーフ化された対数型超幾何関数の基礎研究が進んでいるので，超特異多項式の研究に接続しつつある．
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| 今後の研究の推進方策 |
(1) 対数型超幾何関数の代数点での特殊値の代数性の研究を進めたい．具体的には以下のことを研究したい：任意の A と B に対し，代数性をパラメータの言葉で表現したい．「A = B + 1」のとき，代数点に制限をつけず，必要条件を与えたい．「A < B + 1」のときに「代数点での特殊値は超越的」を，「A > B + 1」のときに「代数点での特殊値は代数的」をそれぞれ証明したい．Thakur のようにモチーフ化せず，直接的に対数型超幾何関数を研究したい．
(2) Maurischat の理論（「Prolongations of t-motives and algebraic independence of periods, 2018」）を対数型超幾何関数に応用したい．この理論は prolongation という概念を導入し，Carlitz 加群の n 回 tensor の period の代数的独立性を示している．これと同じようなことを Carlitz 対数関数の一般化である対数型超幾何関数について考えたい．
(3) 対数型超幾何関数および指数型超幾何関数を多変数化したい．
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