Logスムース族の積分周期写像

• 研究課題/領域番号: 22K03247
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 臼井 三平 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (90117002)
• 研究分担者: 中山 能力 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (70272664)
• 研究期間 (年度): 2022-04-01 – 2027-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2022年度)
• 配分額: 3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円); 2026年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円); 2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円); 2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円); 2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円); 2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
• キーワード: log実解析関数 / log C^{infty}関数 / log Poincare補題 / log積分 / 混合対象 / log純対象 / log geometry / log Hodge theory / log analytic function / log integral / log Deligne cohomology

研究開始時の研究の概要

これまでに群作用付き混合Hodge構造の分類空間のいろいろな拡張のなす基本図式を構成した。その中核は冪零軌道の空間とSL(2)軌道の空間の関係の記述である。冪零軌道の空間をその比と偏角の空間まで持ち上げて、そこからSL(2)軌道の空間へ向けて連続写像を構成した。今回は関数環を整備して上の写像の実解析性まで示したい。またlogスムース多様体に対して微分積分を整備し、それに応じたHodge計量やKahler計量を考えたい。そうして出てくる幾何学的周期写像を周期領域のさまざまな拡張へ向けて拡張し、それらを基本図式の中で比較することにより、微分幾何や代数幾何や物理の諸問題を基本図式の中で捉えてみたい。

研究実績の概要

加藤和也、中山能力、臼井三平の混合ホッジ構造の退化に関する共同研究の課題は、実解析関数、C^{infty}関数の適切な拡張を調べそれらの関数環の上での幾何学へと移っていった。
先ず、log混合ホッジ構造の変形と偏極logホッジ構造の変形についての結果を精密化した論文 Mixed objects are embedded into log pure objects, https://arxiv.org/abs/2212.10970 を仕上げて2022年12月に投稿した。
ついでlog実解析関数やlog C^{infty}関数を定義しそれらの積分を調べlog Poincare 補題を証明した。ホッジ構造の退化についての理解を深めSL(2)軌道定理の幾何学的解釈を深めた論文 Classifying spaces of degenerating mixed Hodge structures, VI: Log real analytic functions and log C^{infy} functions, https://arxiv.org/abs/2304.11303 を仕上げて2023年4月に投稿した。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

加藤、中山、臼井の共同研究で２篇の論文　Classifying spaces of degenerating mixed Hodge structures, VI: Log real analytic functions and log C^{infy} functions、Mixed objects are embedded into log pure objects 論文を投稿した。

今後の研究の推進方策

加藤、中山、臼井の共同研究で Integration in log geometry の研究を始める。