| 研究課題/領域番号 |
22K03249
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 鹿児島大学 |
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研究代表者 |
有家 雄介 鹿児島大学, 法文教育学域教育学系, 准教授 (50583770)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
2,470千円 (直接経費: 1,900千円、間接経費: 570千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | 頂点作用素代数 / モジュラー微分方程式 / モジュラー形式 / モジュラー不変性 / モジュラーロンスキアン |
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| 研究開始時の研究の概要 |
頂点作用素代数の指標はモジュラー微分方程式と呼ばれる特別な微分方程式を満たす．本研究では，モジュラー微分方程式の解としてその指標が現れるような頂点作用素代数に関する研究を行う．具体的には，微分方程式の階数を固定したときその解を指標に持つような頂点作用素代数を分類することを目的とする研究を行う．特に，より高い階数の微分方程式や，解が対数項を保つ場合も含めた問題を取り扱う．また，ある頂点作用素代数の指標の多項式として解が表示されるようなモジュラー微分方程式の特徴付けに関する研究を行う．
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| 研究成果の概要 |
本研究では，レベル2の合同部分群であるテータ群やその共役として現れる群上の対数的ベクトル値モジュラー形式（log VVMF）のモジュラーロンスキアンが，デデキントのエータ関数やウェーバー関数およびモジュラー形式を用いて明示的に表せることを示した．特に，ロンスキアンが上半平面で零点を持たないことと，成分関数がモジュラー線形微分方程式（MLDE）の解空間をなすことが同値であることを証明した．また，この結果を用いて，N=1ミニマル模型やN=2超共形ユニタリ系列などの頂点作用素超代数の指標が，具体的なMLDEの解となることを明らかにした．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
本研究では，対数ベクトル値モジュラー形式のモジュラーロンスキアンを明示的に記述し，成分関数がモジュラー微分方程式（MLDE）の解となるための必要十分条件を与えた．この成果により，これまで十分に検討されてこなかった頂点作用素超代数の指標とMLDEとの関係を体系的に調べることができるようになった．さらに対数的なものもを含めて考察することで，超代数でない場合に有理性を仮定しない場合にも，指標とMLDEの関係を詳細に解析する手法が得られた．
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