| 研究課題/領域番号 |
22K03252
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京女子大学 |
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研究代表者 |
山内 博 東京女子大学, 現代教養学部, 准教授 (40452213)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2025年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2024年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2023年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2022年度: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
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| キーワード | W代数 / 頂点代数 / W3代数 / 3元符号 / マシュー群 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
頂点代数は無限次元ベクトル空間に可算無限個の積が備わった代数系であり,その公理系は二次元共形場理論におけるカイラル代数を数学的に定式化して得られるものである。無限次元の代数系であるにも関わらず,特別な群の作用を持つ頂点代数が存在する。本研究は部分代数のフュージョン代数の対称性として現れる群作用について，最新の数学理論を用いて,構成・記述することを目指す。
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| 研究実績の概要 |
W3代数と呼ばれる頂点代数はフュージョン規則に位数3の対称性を持つことが知られている。本研究課題では生成系としてW3(4/5)を持ち，いくつかの条件を満たすものを構成し，その自己同型群を解明することを目的としている。昨年度に続き，本年度も設定の条件を満たす頂点代数の構成とその構造の解析の研究を行った。昨年度の研究では，群論におけるアッシュバッハー，ホール，シュテルマッハーらの先行研究との比較を行った。その結果，当初の目論見に反して，リーチ格子に付随した頂点代数においては，W3代数の生成する対称性は，彼らが設定した群論的な条件を満たしていないことが判明した。彼らの設定した条件はコンウェイ群や散在型鈴木群の考察から来るもので，これらはリーチ格子の対称群であることから，リーチ格子に付随した頂点代数にも作用している。そのため，計画段階では，具体例を探す際に，リーチ格子頂点代数の内部におけるW3代数と同型な部分代数の考察を行えばよいと想定していたが，昨年度の研究により，この方針では上手く行かないことが判明した。それゆえ今年度は別のアプローチを取る必要があった。そこで今年度は頂点代数におけるグライス代数に注目し，べき等元で生成される部分代数，いわゆる軸代数の概念を位数3の場合に拡張し，まずはグライス代数の段階でアッシュバッハーらの群論的条件を矢部氏と共同で検証した。その結果，矢部氏が軸代数について部分的な結果を得た。そして，そこで得られた軸代数(これは有限次元可換代数である)を実現する頂点代数の例の考察を行った。現段階では関連する具体例は発見できたが，矢部氏が構成した軸代数を頂点代数のグライス代数として実現するまでには至っておらず，引き続き研究を進めていく。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
設定した研究課題について，当初の見込みより複雑な状況であることが判明した。そのため当初想定した研究手法だけではなく，別の手段も追加して考察を行ったが，現在のところ部分的な結果しか得られていない。研究自体は進展しており，このまま継続していく。
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| 今後の研究の推進方策 |
現段階では生成系が作る部分代数の可能性について，枝狩りすべき分岐が多すぎることから，新たな具体例を見つけ出し，その中で満たされている条件を探り，帰納的に考察することで，W3代数を生成系に持つ部分代数の構造の可能性に対する制約を見出すという従来の方針を継続する。具体例の構成には有限次元代数であるグライス代数を手がかりとして研究を行う。頂点代数のグライス代数において，W3代数のフュージョン規則を当てはめて得られる部分代数構造について，アッシュバッハー，ホール，シュテルマッハーらの群論的仮定条件を課した場合に，いくつかの仮定の下で部分的な結果が得られたが，この仮定条件を緩める研究を行うとともに，グライス代数を実現する頂点代数の構成を目指す。
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