| 研究課題/領域番号 |
22K03259
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 福岡工業大学 |
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研究代表者 |
菊田 俊幸 福岡工業大学, 情報工学部, 准教授 (60569953)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2025年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2022年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | Siegelモジュラー形式 / テータ級数 / 法p特異モジュラー形式 / 合同 / p進モジュラー形式 / Eisenstein級数 / ジーナステータ級数 / テータ作用素 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
整数論的に重要な情報が反映される「2次形式」、「L関数」、「絶対Galois群」の解明への応用を念頭に、Siegelモジュラー形式の合同やp進的性質を明らかにする。特に「法p特異モジュラー形式」の具体的構造と、p進Siegelモジュラー形式や法p特異性に深く関わるΘ作用素の性質を解明する。具体的には、
(a) 法p特異モジュラー形式のなすベクトル空間の基底問題の解決。
(b) 法pベキのΘ作用素の像の元のフィルトレーションに関する評価式の検討。そのツイストされたGalois表現の重さの最適化への応用。
を目指す。多変数のp進モジュラー形式の理論の発展と、代数的整数論の分野への応用が期待できる。
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| 研究実績の概要 |
本研究の主な目的の一つは、Siegelモジュラー形式の場合に定義される「法p特異モジュラー形式」の具体的構造の解明であった。前年度までの研究により、次数やレベルに関してかなり一般の場合において、法p特異モジュラー形式はテータ級数の一次結合と法pで合同になることを示した。しかしながら、法とする素数としては有理素数の場合のみが考えられており、したがって、本質的にはモジュラー形式の指標が2次の場合という制限が設けられていた。
当該年度における研究では、2次とは限らない指標付のいわゆるNeben型の法p特異モジュラー形式を調べることを念頭に置いて、Siegelモジュラー形式の合同について調べた。具体的には、Neben型の2つのSiegelモジュラー形式が、素イデアルを法として互いに合同ならば、重さと指標に関してある合同関係が成り立つことを示した。この結果を応用して、pが有理素数のとき、2次でない指標のNeben型の法p特異モジュラー形式は存在しないことを示した。また、法とするpを有理素数ではなく素イデアルとすれば、2次でないNeben型の法p特異モジュラー形式が存在することを示した。これについては、竹森によって詳しく調べられていたEisenstein級数を用いて、具体例を構成することにより示した。
以上に挙げられた研究成果は、全てドイツ、マンハイム大学のSiegfried Boecherer氏との共同研究によって得られたものである。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
前年度までの研究により、本研究の主な目的であった法p特異モジュラー形式の具体的構造の解明と、そのp進Siegel Eisenstein級数への応用のどちらも大半が達成できている。これにより、当該年度の研究では、残された細部の研究に留めることができているため、おおむね順調に進展していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究では、これまでには考慮していなかったベクトル値の場合の法p特異モジュラー形式や、これまでの研究では除外されていたp進Siegel Eisenstein級数の未解明の部分を詳しく調べる。これまでのSiegfired Boecherer氏との共同研究により、既に解決方策が練られており、これを基に議論していく。共同研究者であるマンハイム大学のSiegfired Boecherer氏や、国内の関連の研究者の招聘や訪問を複数回行う予定である。また、関連分野の研究集会に参加し、情報収集を行いながら研究を推進する予定である。
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