| 研究課題/領域番号 |
22K03260
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 有明工業高等専門学校 |
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研究代表者 |
青影 一哉 有明工業高等専門学校, 一般教育科, 准教授 (60633237)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2024年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2023年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 対称群のスピン表現 / ヴィラソロ代数 / シューア関数 / Q関数 / リー環 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
対称群に付随する群の線型表現とスピン表現を繋ぐ関係式の研究である。以前, フック型シューア関数と長方形型ホールリトルウッド対称関数を繋ぐある関係式を表現論的に解明した。この恒等式をより一般化した予想式の解決を目指す。また表現論的意味付けを目指す。既に単項式対称関数、シューア関数版は知られているが, 表現論的な意味付けはない。予想式はホールリトルウッド版と見なすことが出来る。
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| 研究実績の概要 |
対称群周辺のスピン表現に纏わる事項を研究課題に掲げ、課題解決に取り組んでいる。昨年度、新規の共同研究を開始し、この１年間で問題解決まで至ることができた。有限群の原田予想Ⅱに関するものである。これは共役類と既約表現の次元の間の新しい関係式として知られている。原田予想Ⅱは任意の有限群に対して成立するという強い主張であり、いまだ未解決である。現状は特定の条件下でのみ解決されている。たとえば、すでに知られている事実として、任意のシロー部分郡が可換であるならば原田予想Ⅱは成立する。もっと狭義に特定の群に対する考察も進められている。特に対称群、交代群に対しては、埼玉大学の飛田氏により調べられ、組合せ論と関係があることが分かっている。我々は対称群、交代群の被覆群に対して、この問題に取り組み解決に至った。特定の群であれば共役類、既約表現の明示式があり、ただの計算だけ済むと思われるかもしれないが、実際は易しくない。たとえば、対称群の被覆群に対してはスピン既約表現の次元はバーレングスとクリフォード代数の次元で与えられるが、一般に２の倍数のバーレングスを求めることは困難であるとされている。我々はこの予想式を解決するにあたって２の倍数バーレングスの扱いを詳しく調べ、明示公式を得ることが出来た。これは汎用性もあり、意味のある仕事といえる。現在投稿中である。R５の実績としては、論文２編投稿中(内１編はR４の査読待ち)、講演(学会、研究集会)を挙げる。R５は、ある程度順調に成果を出したといってよい。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度、対称群周辺のスピン表現に纏わる事項として課題を１つ達成したことを報告する
昨年に引き続き２編の論文を仕上げた。現在審査中につき成果になるまでお待ちいただきたい。申請者の課題として挙げた予想式については引き続き模索が必要である。少なくとも方向性については決まっており、頂点作用素の関係式を構成することが課題である。
新規の研究を進めた。MKP方程式系についてである。現在投稿中のKP方程式系のモディファイド版となる。BKP方程式系における微分プリュッカー関係式はヴィラソロ代数の表現から自然に導出された。このことからKP, MKPの微分プリュッカー関係式の背後にも表現が隠れているのではないかと期待される。現状では背後の表現も幾何的な意味付けも解っていないが、実験的にKPと同様な微分プリュッカー関係式が条件付で確認されている。進捗としては、一番単純な場合のキーとなる関係式を得ている。
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| 今後の研究の推進方策 |
まずMKPの微分プリュッカー関係式を記述する事から始める。MKPはKPでは現れないシフトのようなズレをもつ。このズレによって内在する関係式がガラッと変わる。KPもそれなりに複雑であったがMKPに関してもそれ以上に複雑な印象をもっている。具体的にいうと、フック分割で割った歪シューア関数のプリュッカー関係式の間に新しい等式を見出さなければならない。一番単純な場合のキーとなる関係式を一般化することが目標である。今年度中には投稿まで行いたい。
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