| 研究課題/領域番号 |
22K03266
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 信州大学 |
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研究代表者 |
花木 章秀 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (50262647)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2025年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | タウィリガー代数 / 有限単純グラフ / 隣接代数 / アソシエーションスキーム / Terwilliger 代数 / 表現 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
単純グラフなどの組合せ論の研究対象は、考える集合の要素が多くなると考える場合の数が極めて大きくなりその研究が困難になる。そこで、やや粗い情報として隣接代数や Terwilliger 代数などが考えられる。その構造がどのような組合せ論の情報を保存するか、またそれを考えることによって何が得られるかを考察する。具体的には、ある種のグラフなどの同型判定、特殊なパラメータをもつアソシエーションスキームの非存在証明、などの成果が期待される。
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| 研究実績の概要 |
タウィリガー代数の一般化について、その基本的性質と具体例に関する研究を行い、ある程度の成果を得た。有限単純グラフの隣接代数に以下のような頂点の分割に関する情報を付加した代数を考える (1) １点と他のすべての点への頂点の分割 (2) １点とその点からの距離による頂点の分割 (3) 自己同型群の１点の安定部分群の軌道による頂点の分割 (4) 自己同型群の１点の安定部分群による不変元の全体。(4) は頂点の分割で得られるものではないが、比較のため考察した。(2) が通常のタウィリガー代数である。
はじめに一般的に成り立ついくつかの簡単な性質を調べ、それを用いて path, star などの基本的なグラフについて上記の代数の構造 (既約成分への分解) を決定した。また、完全にではないが Paley グラフについても、その次元の評価を与えた。先に述べたように (1), (2), (3), (4) には自明な包含関係があるが、実際に差がある例を構成し、一般には一致しないことを示した。
この結果は吉川昌慶氏 (兵庫教育大) との共同研究としてまとめられ、論文誌「Discrete Mathematics」に掲載が決定されている。
本研究の主題とはやや異なるが、内在的に３つのデザイン構造を持ったランク４の自己双対的アソシエーションスキームの例の構成に成功している。基本可換２群、位数４の巡回群いくつかの直積、のシュアー環として得られており、シュアー環の研究としても新しい結果となっている。この結果については現在投稿準備中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
グラフの任意の頂点集合の分割によるタウィリガー代数の一般化を考えることが本研究のテーマである。これについて、まずは考えてみたいいくつかの分割に対して、具体例を計算し基本的な性質を調べることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
「概要」に書いた頂点の分割は基本的であり、引き続きより深い研究を行うつもりである。また、より一般の頂点の分割を考えるために、「よい分割とは何か？」という問題に着手している。異なる分割が等しい代数を定めることがあるため、それを記述するための新たな定義をし、一つの妥当と思われる予想も得られているが、まだここに記述する段階ではない。今後、研究を進めてこれらの問題の解決を目指していく。
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