| 研究課題/領域番号 |
22K03268
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 立教大学 (2023)
名古屋工業大学 (2022) |
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研究代表者 |
水澤 靖 立教大学, 理学部, 教授 (60453817)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 代数的整数論 / 岩澤理論 / ガロア理論 / 類体論 / 擬馴分岐 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
代数体の分岐条件付きガロア群の構造は、高次の整数の様々な性質を反映する。この研究課題では岩澤理論と数論的トポロジーに基づいて、高次の相互法則にまつわる諸性質を調べるために、擬馴分岐副pガロア群の構造を研究する。その研究を通して、岩澤理論の未解決問題への応用を試みるとともに、様々な視点と手法を取り入れながら、その問題の新しい拡張を考察する。
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| 研究実績の概要 |
当研究課題の目的は、代数体の擬馴分岐副pガロア群の構造と種々の数論的不変量との関係性を精密に記述し、岩澤理論の未解決問題および相互法則の研究に応用することであった。その関係性の記述と応用のための準備を前年度から引き続き行い、主に以下の成果を得た：
(1) 擬馴分岐副2ガロア群が副メタ巡回群と階数1自由副2群の半直積であるような実2次体の分類を、大幅に進展させた。国外の研究協力者との共同研究として、研究期間内には分類を完成させられる見込みである。この分類には円単数の高次冪剰余条件が密接に関係するため、相互法則の研究と互いに応用し合うことが期待できる。さらにその副産物として、実2次体の不分岐岩澤加群の2階数の明示公式を与えた。同種の公式を導く先行研究もあるが、有限体の算術から容易に計算できる公式を与えており、特にその2階数が2となる実2次体の分類表を完成させることができた。
(2) 判別式-7の虚2次体の1点外不分岐Z2拡大を2次拡大上に持ち上げたZ2拡大に対して、グリーンバーグ予想の類似問題の研究を行い、研究協力者との共同研究として、グリーンバーグ予想研究の基本定理である尾崎田谷の定理などの類似を得ることができた。副産物として、この非円分的な擬馴分岐副2ガロア群が(1)と同様の構造を持つ具体例も発見できた。さらにグリーンバーグ予想の成否判定が特に望まれる状況も設定することができ、今後の研究の新しい方向性も得られた。
以上の成果は論文としてまとめて学術雑誌に投稿する予定である。また、当研究課題の意義を研究集会にて発表し、数論トポロジーの視点からの考察も行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
研究計画の順序変更を行ったことも影響しているが、応用面を先に意識した浅い研究に留まっている感があるため、進捗状況には満足できていない。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究計画の順序変更による遅れを取り戻すべく、一年間の期間延長も視野に入れて、適切に研究計画を再整理したい。具体例計算のみに留まらず、より一般的な理論の研究へと移行してゆきたい。
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