| 研究課題/領域番号 |
22K03271
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 大分大学 |
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研究代表者 |
寺井 伸浩 大分大学, 理工学部, 教授 (00236978)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2022年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | Ramanujan-Nagell方程式 / 一般化されたFermat方程式 / Jesmanowicz予想 / Ｂaker理論 / 一般化された Fermat 方程式 / 指数型不定方程式 / Baker理論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
不定方程式は数学の中では幾何学と同様古代ギリシャ時代以来の長い歴史を持つ. 本研究では, 指数型不定方程式 a＾x+b＾y=c＾z, x＾2+b＾m=c＾n, a＾x+b＾y=z＾2 の解の個数, 解の大きさ, 解の決定についてそれぞれ研究する. そのために, 次の4つの深い結果・方法を用いる:
(i) 一般化された Ramanujan-Nagell 方程式 x＾2+D＾m=p＾n, x＾2±2＾m=y＾n
(ii) 一般化されたFermat 方程式 X＾n+2＾aY＾n=Z＾2, X＾2+Y＾m=Z＾4, X＾2+Y＾4=Z＾n (iii) Lucas 数のprimitive divisor に関するBilu-Hanrot-Voutierの定理 (iv) Laurentによる2つの対数の1次形式の下からの評価(: Baker理論)
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| 研究実績の概要 |
指数型不定方程式論において, ピタゴラス数に関するJesmanowicz予想は有名である.これは a＾2 + b＾2 = c＾2 を満たす正の整数とするとき, 不定方程式 a＾x+b＾y=c＾z はただ一つの正の整数解 (x,y,z)=(2,2,2) をもつという予想である. この予想の類似として, 一般化されたRamanujan-Nagell方程式 x＾2 + b＾m = c＾n (GRN) や a＾x+b＾y=c＾z (EXP) が自明な解以外の解をもつかどうかを考える. ただし, a,b,c,p,q,rは a＾p + b＾q = c＾r (*)を満たす正の整数である.(GRN)に関しては, (*)が (c-1)＾2 + (4c)＾1 = (c+1)＾2 の関係を満たすとき, いくつかの条件の下で自明な解しかもたないことを示し, 査読論文(Indian Journal of Pure and Applied Math., 54(2023))を出版した. (EXP)については, aまたはcが2に等しいとき,いくつかの条件の下で自明な解しかもたないことを示し, 査読論文(Bull. Australian Math. Soc. Math., 107(2023))を出版した. これらの話題は「Ramanujanと関係する指数型不定方程式」という題目で第15回福岡数論研究集会(於 九州大学; 2023年9月13日)において講演した.
2023大分宮崎整数論研究集会(於宮崎大学教育学部;2023年9月15日-2023年9月17日)を世話人として主催した. 不定方程式論, 多重ゼーター関数, 代数的整数論, 解析的整数論,表現論に関する素晴らしい講演が行われ, 若い大学院生を含めて多くの出席者があった. 各講演について活発な質疑応答があり, 整数論の研究者と有意義な意見交換ができた.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Jesmanowicz予想の類似として, 一般化されたRamanujan-Nagell方程式 x＾2 + (4c)＾m = (c+1)＾n (GRN) が自明な解以外の解をもつかどうかをInt. Math. Forum 17(2022) において考え, c=5,7,309のとき(GRN)が例外的解をもつことを予想した. この論文では, pがある合同条件を満たす素数とし, c=p＾r, p＾r-1, 2p＾r, 4p＾rのとき, 予想が正しいことを確かめた. 今回のIndian J. of Pure and Applied Math. 54(2023)の論文では, これらの結果を大幅に拡張できた. その証明は, Lehmer numbers の primitive divisor に関するBHVの定理や一般化されたFermat方程式に関するいくつかの深い結果による. これらの話題は「いろいろな指数型不定方程式の解の個数」という題目で数理情報科学さくらセミナー2024（於 鹿児島大学理学部) において講演した.
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| 今後の研究の推進方策 |
b,c を互いに素な1より大きな正の整数とするとき, 一般化されたRamanujan-Nagell方程式 x＾2 + b＾m = c＾n (GRN) は, x＾2 + 7＾m = 2＾n, x＾2 + 2＾m = 3＾n を除いて, 高々3個の正の整数解 (x,m,n) をもつことが予想されている. 今後は, repdigit数を含む(GRN)を研究したい. k番目のrepdigit数は R_k=a*(10＾k-1)/9 で定義される. ここで, aは1≦a≦9となる整数である. このとき, 一般化されたRamanujan-Nagell方程式 x＾2 ± a* R_m = 2＾n (*)は, aの値により解をもったりもたなかったりする. まず, MAGMAにより(*)の解を数値実験で求め, 解(x,a,m,n)に関する予想を提起する. 初等的方法, 一般化されたRamanujan-Nagell方程式に関するいろいろな結果, Bennettによる解の評価等を用いて,(*)の解を完全に決定したい.
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