| 研究課題/領域番号 |
22K03272
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 琉球大学 |
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研究代表者 |
木本 一史 琉球大学, 理学部, 教授 (10372806)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
2025年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 表現論 / 組合せ論 / 整数論 / 数論 / 特殊関数 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
表現論的な不変性や構造を背景に持つ数学的対象をパラメタ変形したとき、変形の結果として現れる「ずれ」の構造、そこに由来を持つ「特殊関数や不変量」に興味がある。本課題では、アルファ行列式と呼ばれる行列式のパラメタ変形と、その特殊化であるリース行列式、および非可換調和振動子と呼ばれる量子調和振動子のパラメタ変形、特にそのスペクトルゼータ関数とを中心的な対象とする。「元来の対象物」と「そのパラメタ変形」との間の差異を反映して現れる（変形パラメタを変数とする）関数について、その具体的な計算や特徴付けを基本問題としつつ、さらにそこから派生する具体的な数論・表現論・組合せ論の問題について取り組む。
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| 研究実績の概要 |
本課題では表現論的構造のパラメタ変形に由来する問題を対象としている。本年度は、アルファ行列式（関連してリース行列式、帯球関数、グラフ理論）と非可換調和振動子（特にスペクトルゼータ関数の特殊値とアペリ型数列）について以下のような研究を行った。
(1) リース行列式や対称群上の帯球関数と密接に関連する、一般線形群の表現のプレシズムの問題について研究した。具体的には、一般的な既約表現の対称巾や交代巾について、それを適当な多項式代数上に実現した上で、各既約成分の最高ウェイトベクトルを具体的に記述するという問題を扱い、特別な場合にある程度満足できる結果を得た。この成果は論文にまとめて投稿中である（シンガポール国立大学の Lee Soo Teck 氏との共同研究）。
(2) 有限グラフに対して定義される二変数ゼータ関数（射影曲線に対する局所ゼータ関数の離散類似）について研究した。いくつかの具体的な（種数が無限に増大するような）グラフの無限族に対して、二変数ゼータ関数を具体的に決定した。扱った無限族たちの場合には、二変数ゼータ関数がグラフのタット多項式のみを用いて統一的に書くことが出来ることを見出した。この結果は論文としてまとめた（Ryukyu J. Math. に掲載）。
(3) 非可換調和振動子のスペクトルゼータ関数の特殊値は「リーマンゼータ値+(パラメタの特殊化で消える)有限和の剰余項」という形をしており、剰余項の「第一項」から定まる「アペリ型数列」の持つ数論的性質について調べてきた。これまでの成果および今後の課題について、2023年8月に開催されたICIAM 2023 のミニシンポジウムで講演した。また、スペクトルゼータ関数とその特殊値に関するいくつかの新たな試みや高次剰余項の計算例などを含めた概説論文をまとめて投稿中である（NTT基礎数学研究センタの若山正人氏との共同研究）。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究成果について論文3編をまとめて投稿にこぎ着けられたため（ただし、うち1編は査読なしの紀要論文である）。
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| 今後の研究の推進方策 |
・アルファ行列式やリース行列式の表現論・不変式論について、対称群上の帯球関数、一般線形群の表現のプレシズムについて、これまでの結果の拡張を目指しつつ、対称群上の帯球関数やリース行列式に関する問題とのつながりを追求していく。
・グラフ理論について、リース行列式を用いた群・部分群ペアグラフの不変量やスペクトルの研究、グラフの二変数ゼータ関数の具体的計算（特にタット多項式からの「ずれ」の研究）を進める。
・非可換調和振動子のスペクトルゼータ関数について、その特殊値を記述する高次の剰余項の研究を中心にさらに進めていく。
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