| 研究課題/領域番号 |
22K03273
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京都立大学 |
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研究代表者 |
黒田 茂 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (70453032)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2025年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | 多項式環 / 加法群作用 / 指数自己同型 / 自己同型群 / 正標数 / 順自己同型・野生自己同型 / 自己同型写像 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
多項式の集合のなす環（多項式環）は数学において基本的な対象である．しかし，多項式環の周辺には，依然として重要な未解決問題が数多く残されており，世界的に研究が行われている．
本研究では，この領域で進展を得ることを目指して，多項式環研究のための技法の整備や実用化などを行う．研究を進めるにあたり，国内外の関連分野の研究者たちと議論や情報交換などを行う．
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| 研究実績の概要 |
正標数の体上の多項式環の自己同型や加法群作用に関して以下の研究（１），（２）を行った．また，Jilin UniversityのXiaosong Sun教授と共同で国際研究集会China-Japan Joint Meeting on Polynomial Ring Theoryを主催した．
（１）Aを標数p>0の整域とするとき，加法群G_aの作用から誘導されるAの自己同型（指数自己同型と呼ぶ）の位数は，恒等写像でない限り常にpである．逆は一般に正しくないが，Aが多項式環の場合は位数pの自己同型とG_a作用がどちらも豊富に存在するため，状況が極めて微妙である．今回，多項式環において，位数pの自己同型の概念と指数自己同型の概念の相違を探る研究を行った．この研究は多項式環の自己同型群の生成に関する重要な未解決問題と関係する．主な成果は以下の通りである：(a)整域上の2変数多項式環の三角自己同型の場合，位数pならば指数自己同型であることを示した．それにより，体上の3変数多項式環の三角自己同型は，位数pならば指数自己同型であることが従う．一方，変数を1つ増やした状況で同様の主張が成り立つかは不明であり，反例の候補を既に得ている．(b)多項式環における位数pの非指数自己同型の構成に成功した．より具体的に，体でないUFD上の2変数以上の多項式環において，そのような例が必ず存在する．結果(b)は正標数の多項式環の自己同型群の研究において重要な知見を与えるものであり，これを手掛かりとして研究のさらなる進展が期待できる．
（２）多項式環の指数自己同型の安定順性に関して正標数の場合の研究は少ない．今回，正標数の場合に予備的な研究を行い，あるクラスの指数自己同型が安定順であることを示した．また，標数0の場合との相違点等について，新たな知見等を得た．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
標数p>0の多項式環の「位数pの自己同型」と「指数自己同型」の相違等を探る研究が大きく進み，重要な成果が得られたため．
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| 今後の研究の推進方策 |
２０２２年度，２０２３年度の研究を発展させ，さらに有意義な成果を得ることを目指す．研究の進捗状況を見ながら，海外の研究者との情報交換などを行う．
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