| 研究課題/領域番号 |
22K03275
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京電機大学 |
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研究代表者 |
中野 哲夫 東京電機大学, 理工学部, 特定教授 (00217796)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2025年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
2024年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2023年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2022年度: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
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| キーワード | ブーリアングレブナ基底 / 数独パズル / 井上アルゴリズム / CIIアルゴリズム / MDSL予想 / モジュライ空間 / 群作用 / グレブナ基底 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の目的は代数群の作用を受ける代数多様体に関する2つのテーマ
【テーマI】Weierstrass空隙値列を指定した点付き代数曲線のモジュライ空間の構造
【テーマII】d次元群論的極小有理代数多様体とその拡張クラスUS(d)の研究
を行うことである．テーマIについては，標数0での有理性予想，正標数へのPinkham 理論の拡張およびモジュライ空間のコンパクト化の３つの課題について研究を行う．テーマIIについては，単純代数群が非自明に作用する3次元非特異射影代数多様体のクラスであるUS(3)の同変的双有理幾何，特に極小モデルの分類の完成と，4次元群論的極小有理代数多様体の構造研究を行う．
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| 研究実績の概要 |
令和５年度は，昨年度に引き続き，ブーリアングレブナ基底を用いた数独パズルの数学的構造と難易度判定の研究に取り組んだ．まずは，井上アルゴリズムに基づくMDSL予想を実験的に検証することに取り組み，実験データを収集している．
井上アルゴリズムとは，数独の初期データ（ヒント）から定まるブール多項式環のイデアルを，基本閉包を取る操作（基本操作）を繰り返して拡大していき，最終的に極大イデアルに到達して解を得る，という数独の数学的標準解法である．基本操作を行ったイデアル（分岐点）では，そこで取りうる任意の値を選んで，イデアルに追加し，さらに基本操作を続けていくと，有限回の操作で最終的に必ず極大イデアル（解）に到達する．
井上アルゴリズムの基本問題として，初期イデアルから出発して，最低で何回の基本操作を行えば極大イデアル（解）に到達できるか，という問題がある．私達は多くの実例の計算により，「任意の数独パズルは，３回以下の基本操作で必ず解に到達する」という予想（MDSL予想）を提唱している．これは，井上アルゴリズムの優秀さを示す強力な予想であり，今のところ，MDSL予想の反例となる数独は発見されていないが，さらに，実例を多く計算して，MDSL予想の成立の証拠を固めている．
続いて，井上アルゴリズムの改良版であるCIIアルゴリズムを開発し，数独の種々の数学的不変量を定義し，それらを元に数独の難易度の研究を行った．特に，SMYIと呼ばれる数学的難易度指標を定義しその性質を調べた．SMYIは計算が簡単で，数独の標準的な難易度指標として重要である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
令和５年度は，多くの数独パズルのMDSL(Minimal Depth of Solution Leaves) を計算し，MDSL予想の成立の状況証拠固めに注力した．現在のところ，1500問程度の数独のMDSL を計算したが，全部のパズルのMDSLは３以下であり，今のところMDSL予想の反例は見つかっていないが，さらに引き続きMDSLの計算例の収集を続けていく．現在のMDSLの計算プログラムはやや計算に時間がかかるため，プログラムのアルゴリズムを見直して，計算量を減らす工夫も必要になっている．
MDSL予想の数学的証明にも平行して取り組んでいるが，MDSLの定義が，基本閉包を取る操作と，基本閉包に取りうる値を付け加えるという操作を繰り返して解に到達する経路の長さの最小値という，やや面倒な手続きを使っているため，MDSLの数学的性質が何もわかっていないので証明に手がつかない状況である．この状況を打破するには，まずはMDSLという不変量の数学的性質を地道に理解していくことが重要であると考え，MDSLの基本性質を探求中である．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後もさらに，数独パズルの数学的構造を，井上アルゴリズムを中心として進めていく．具体的には
(1) MDSL予想の成立（または非成立）を，実験および理論の両方の立場から考察していく．計算理論の立場からは，使用している数式処理システムmagma が並列計算に対応していないため計算が全般的に遅く時間がかかってしまうので，現在使用しているプログラムを並列計算仕様にアップグレードしてパラレル計算ができるように取り組んでいきたい．
(2) 井上アルゴリズムを改良した数独の解法に，CIIアルゴリズムがある．CIIアルゴリズムは，井上アルゴリズムにおいて，基本閉包をとったあと，取りうる任意の値を付け加えるのではなく，「できるだけ解に早く到達できる可能性の高い」値のみを選んで付け加えるように改良したアルゴリズムである．CIIアルゴリズムを使って，私達は SMYI 不変量と呼ばれる数独の不変量を定義し，SMYI は数独の数学的難易度指標として高い精度で使えることを示した．数独の種々の難易度指標とSMYI を比較してその相関を求めることで，数独の難易度指標の比較が可能となるので，この観点から数独の難易度指標の研究を進めたい．
(3) 数独パズルの強力な解法として，初期イデアルの戦術閉包をとる操作がある．私達は，初期イデアルと戦術閉包の差をはかるs∞ランクという不変量を定義し，s∞ランク=∞のパズルが最も難易度が高いことを示した．s∞ランクが∞のパズルは，さらに，LACという量で階層化でき，LAC=0 のパズルが中でも難易度が最も高いこともわかってきた．そこで，S∞ランク=∞でLAC=0 のパズル（初期イデアル=戦術閉包となるパズル）が最も難易度が高いと考えられるので，この特徴をもつパズルの研究を進めたい．
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