| 研究課題/領域番号 |
22K03286
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
山ノ井 克俊 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (40335295)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2026年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | 双曲性 / ネヴァンリンナ理論 / 高次元ネヴァンリンナ理論 / Bloch原理 / 擬小林双曲性 / Lang予想 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
種数が２以上のコンパクトリーマン面は双曲的である、という古典的な事実は、現代でも多様な文脈で位置づけることができる重要な定理である。本申請課題では、この定理を一次元の一般型（複素）代数多様体上の小林擬距離の振る舞いと位置づけ、その高次元化に関する小林・Lang 予想を高次元ネヴァンリンナ理論の立場から研究する。本研究課題の最初の目標は、正則関数の単数方程式の理論に関する、1920年代のブロッホ、カルタンの古典的な結果を超えるような、より強い幾何学的主張を証明することで、それによって、本研究課題が深く古典理論に根差しつつ、それを超えていくものであることを示す。
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| 研究実績の概要 |
令和5年度の研究実績は以下の通り。本研究課題の交付申請書に記載した通り、本研究課題の主な目的の一つは、対数的に一般型な準射影的な代数曲線は、リーマン面として双曲的である、という事実の高次元化を高次元ネヴァンリンナ理論の立場から研究することにある。よく知られているように、対数的に一般型な準射影的な代数曲線の基本群は非可換であって、線形代数群の中に忠実な表現をもつ。従来は、基本群の表現を考える際には、代数群としては標数０の体上で考えるのが、標準的であった。今回、Y.Dengとの共同研究で、準射影多様体の基本群が、正標数の体上で定義された代数群への表現を持つ状況を考察した。このような状況下で、表現がbigであり、考えている準射影多様体が対数的に一般型であれば、それは擬ピカール双曲的になること、すなわち、穴あき円板からの正則写像で、その像がある除外集合に含まれないものは、原点を超えて正則に拡張する、という大ピカール型の定理を証明することに成功した。また、表現がさらに半単純であれば、考えている準射影多様体は必然的に対数的に一般型になること、さらに強く、その準射影多様体の除外集合に含まれないすべての部分代数多様体も対数的に一般型であることを証明した。これらの結果は、非アルキメデス完備体上の調和写像の理論と高次元ネヴァンリンナ理論を用いて証明される。ここで、ネヴァンリンナ理論としては、アルバネーゼ次元最大の準射影多様体に対する、第二基本定理が重要な役割を果たす。これは、筆者が継続的に研究を進めてきたもので、本研究課題における重要なテーマである。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度は、Y.Dengとの共同研究で、準射影多様体の基本群が、正標数の体上で定義された代数群への表現を持つ状況を考察し、表現がbigであり、考えている準射影多様体が対数的に一般型であれば、それは擬ピカール双曲的になること、すなわち、穴あき円板からの正則写像で、その像がある除外集合に含まれないものは、原点を超えて正則に拡張する、という大ピカール型の定理を証明した。また、表現がさらに半単純であれば、考えている準射影多様体は必然的に対数的に一般型になることを証明した。このような結果は、従来は準射影多様体の基本群が標数０の代数群に表現を持つ場合が考察されてきた。今年度に得られた結果は、このような枠組みを新しくすることに成功している。また、これらの結果は、対数的に一般型な準射影的代数曲線は、リーマン面として双曲的である、という事実の高次元化を高次元ネヴァンリンナ理論の立場から研究する、という本研究課題の趣旨に沿った成果であり、現在までの進捗状況としては、おおむね順調であると評価する。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究の推進方針としては、本研究課題の交付申請書に記載した通り、アルバネーゼ次元最大の（準）射影多様体の小林擬距離の研究、およびその応用を研究する予定である。そのための研究推進方策としては、2023年度までの研究成果を大きく役立てていくことになる。具体的には、小林擬距離の研究を行う際の、単位円板からの正則写像の振舞を高次元ネヴァンリンナ理論を用いて研究する方針は、2023年度までの研究方針を引き継ぎつつ、準アーベル多様体の第二主要定理に関する、申請者のこれまでの研究成果を適時、活用して研究を実施する。
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