| 研究課題/領域番号 |
22K03287
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
佐藤 進 神戸大学, 理学研究科, 教授 (90345009)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2024年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2022年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | ブレイド / タングル / ストリング絡み目 / 彩色 / 仮想結び目 / 溶接結び目 / 捩れ多項式 / 交差多項式 / 捩れ数 / 結び目理論 / 曲面結び目 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
「古典結び目」とは3 次元ユークリッド空間に埋め込まれた円周のことであり, 「曲面結び目」とは4 次元ユークリッド空間に埋め込まれた閉曲面(球面やトーラスなど) のことである. 古典結び目は理論と応用の両面から盛んに研究されている. これに対して2 次元の曲面結び目の研究は, 古典結び目の不変量の研究の基礎となる射影図のような視覚化の難しさがネックとなり, なかなか大きな進展を遂げることができていない. 本研究は3重点数による曲面結び目のリスト作成と仮想結び目(厚み付き閉曲面である3 次元多様体の中の円周) の不変量に着目して, 曲面結び目理論のさらなる発展を目指すものである.
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| 研究実績の概要 |
３次元ユークリッド空間内の古典的結び目および４次元ユークリッド空間内の曲面結び目の不変量として、カンドルによる彩色がある。特に二面体カンドルによる彩色がフォックス彩色である。結び目は適当なブレイドおよびその一般化であるタングルの閉包として表されることから、ブレイドに対する彩色を研究することは重要な課題のひとつである。
前年度までの研究において、仮想タングルの単点に与えられた色が適当なZ彩色によって実現するための必要十分条件を与えることができた。本年度はこの結果をふまえ、古典的ブレイドに対するZ彩色の研究を行なった。
Z^mの二つの元v, wに対して、適当な古典的ブレイドbでvb=wを満たすものが存在するときvとwは同値と定める。三つの不変量Δ, d, Mを導入して、vとwが同値であるための必要十分条件がこれら三つの不変量が一致することであることを示した。
これを用いると、m次ブレイド群B_mはm次純ブレイド群PB_mを部分群にもつことから、Z^mへの作用の制限を考えることができる。Z^mの二つの元がPB_mの作用による同じ軌道に属するための必要十分条件がΔ, dに加えてMを精密化した不変量が一致することであることを示した。
またブレイドの拡張としての(m,m)タングルについて考えた。d(v)の2のべきのみを取り出したd_2(v), M(v)を2d_2(v)を法に落としたM_2(v)を導入することで、Z^mの二つの元が適当なZ彩色をもつ(m,m)タングルを介して移り合うための必要十分条件がΔ, d_2, M_2が一致することであることを示した。
さらにこれらの概念の合体といえるm本ストリング絡み目についても、二つの元が適当なm本ストリング絡み目で移り合う必要十分条件がΔ, d_2に加えてM_2を精密化した不変量が一致することであることを示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
古典的タングルのZ彩色において、その単点の色の交代和は０に等しいことが知られているが、本年度の研究の枠組みでみるとこれは、Z^mの二つの元のΔ不変量が一致していることを意味している。しかし二つの元がブレイドで移り合うためには、これだけでは不十分であり、別の二つの不変量dとMが必要となることが予想され、実際にそれを証明することで、Z彩色に関する研究を進展させることができた。
また、m次ブレイドだけでなく、m次純ブレイド、(m,m)タングル、m本ストリング絡み目、およびそれらの仮想化である仮想ブレイド、仮想純ブレイド、仮想タングル、仮想ストリング絡み目の差異をZ彩色を通して明らかにすることができた。これにより、彩色を用いた結び目理論の研究を進展させることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究により、z彩色を用いた古典的ブレイドおよび仮想ブレイドなどのZ彩色について、その性質を明らかにすることができた。これらは、その単点をそれぞれ一点につぶすことにより、（仮想）空間シータグラフのZ彩色とみなすことができることを意味している。空間シータグラフの彩色については、安原らにより、頂点まわりの辺の色を同一に塗るという先行研究があるが、この条件ではZ彩色の場合は自明になってしまうことがわかる。今回の結果により、交代和が０に等しければZ彩色を定義でき、それが意味のある不変量を与える可能性があることが期待できる。
また、Z彩色をZ/pZで考えたp彩色にした場合、今回の一連の結果とは大きく異なることがすでにいくつかの計算により予想できている。このことから、二つの元がp彩色されたブレイドで移り合うための必要十分条件を明らかにし、それを用いて純ブレイド、(m,m)タングル、ストリング絡み目、およびそれらの仮想化に対する研究を進めていきたい。
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