| 研究課題/領域番号 |
22K03292
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 大阪公立大学 |
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研究代表者 |
枡田 幹也 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (00143371)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2024年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2022年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | トーリックトポロジー / 旗多様体 / Hessenberg variety / 対称群の表現 / Stanley-Stembridge予想 / トーラス軌道 / 凸多面体 / 置換 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
トーリック多様体論をトポロジーの立場から展開することから生まれたトーリックトポロジーという分野の開拓を進める。これまで、トーリック多様体（もっと一般にトーラス多様体）のトポロジーと、それに関連する組合せ論の研究を主に行ってきた。トーリックトポロジーは、トーラス群作用を用いて様々な分野との関係を見出すのが特徴である。この特徴を推し進め、トーリックトポロジーを一層豊かな数学にするのが本研究の目的である。具体的には、同変シューベルトカリキュラスの線上にあって色々な数学と関係している ヘッセンバーグ多様体の研究を深める。また、旗多様体におけるトーラス軌道の閉包のトポロジーと組合せ論の関連を探る。
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| 研究実績の概要 |
旗多様体の部分多様体の族である正則半単純ヘッセンバーグ多様体のコホモロジーについて調べた．具体的には以下の通り．
[1] Brosnan-Chowの定理（Shareshian-Wachs予想の解決）により，正則半単純ヘッセンバーグ多様体のコホモロジーの対称群表現は，Stanleyによって導入されたグラフ彩色の対称関数と本質的に同じである．佐藤敬志氏との共同研究において，正則半単純ヘッセンバーグ多様体のtwinと呼ばれる多様体のコホモロジーの対称群表現が，表現論の観点から導入されたunicelluar LLT多項式と本質的に同じものであることを示した．
[2] 上記のBrosnan-Chowの定理の証明は代数幾何の深い事実を用いるが，ある意味隣り合った正則半単純ヘッセンバーグ多様体の間に，modular lawと呼ばれる関係を示せば，初等的な議論でBrosnan-Chowの定理が示せることをAbrew-Nigroが示した．これは上記のtwinに関しても成立する．最近 Kiem-Leeがmodularlawを幾何的な議論を用いて示した．彼らの議論は初等的ではあるが，ヘッセンバーグ多様体の場合とそのtwinの場合では議論が異なっている．佐藤敬志氏および堀口達也氏との共同研究において，modularlawをGKMグラフを用いて証明した．我々の議論は組合せ的なもので初等的である．また，ヘッセンバーグの場合とtwinの場合の議論は並行して成り立つという利点がある．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
研究実績の概要で述べた２つの結果は，当初予想していなかったもので，このような結果が得られたことに驚いている．また議論は非常に自然なので，本質に迫っているのではないかとの感触を持っている．
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| 今後の研究の推進方策 |
この研究の究極の目的は，グラフ理論におけるStanley-Stembridge予想を肯定的に解決することである．現在２つの方法がある．１つは組合せ論によるもの．もう１つは上記で述べた Brosnan-Chowの定理を介して，正則単単純ヘッセンバーグ多様体のコホモロジーの対称群表現を調べることである．これまで後者の方法を用いて来たが，前者の方法の理解を深めて２つの方法の違いや関係を深く掘り下げたいと思っている．これにより新しい知見が得られることと期待している．
もう１つは，現在進めている正則半単純ヘッセンバーグ多様体の自己同型群を調べることである．ごく最近，面白い進展があったので，深く探りたいと思っている．
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