| 研究開始時の研究の概要 |
ホモロジー的ミラー対称性とは, A模型と呼ばれる幾何学的な対象の集まりと, B模型と呼ばれる代数的な対象の集まりの間に不思議な対応関係が存在するという主張である. これらの研究の中で, A模型側の幾何学的な対象の大きさや偏角(周期)という情報が, B模型側では代数的な対象の安定性条件に対応すると期待されているが, この期待は少数の場合のみにしか証明がない.
そこで本研究では, A模型側の対象の周期とB模型側の対象の安定性条件が対応するメカニズムをより多くの具体例で解明することで, ホモロジー的ミラー対称性による対応関係をより精密な情報のレベルで理解することを目的とする.
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| 研究実績の概要 |
今年度は前年度に引き続いて, 大阪大学の高橋氏, 白石氏, 及び清華大学の大谷氏らとのグループで共同で行っているA型の一般化ルート系に付随した不変式論から構成されると期待されるフロベニウス多様体についての研究を進めた. このフロべニウス多様体は, Hurwitz空間に付随したフロべニウス多様体と同型となることが, ホモロジー的ミラー対称を介した考察から期待されるが, この同型を構成するための具体的な方針が得られた. この同型について, 前年度から引き続いて, 研究を進めるために一から実装した不変式やそこから現れる計量を自動で計算するプログラムを用いて様々な具体例で検証実験を行い, 主となる主張のおおよその形を定式化することができたので, 今後は詳細を詰めてきちんと証明を与え, 論文にまとめていく方針である.
また, この構成の際に現れるA型の一般化ルート系と点付き境界付き曲面の間に得られることが期待される全単射の構成についても整理を行なった. この観点から, 現在構成中のフロべニウス多様体は, 点付き境界付き曲面のfull formal arc systemに付随したgentle代数の導来圏の安定性条件の空間と同一視されることが期待されるので, この点についての研究を当初の予定通り開始した.
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| 今後の研究の推進方策 |
前年度までに得られた, 曲面から現れるA型の一般化ルート系の不変式論に付随したフロべニウス構造の構成については, 来年度には論文にまとめて形としたい. 一方で, 他に考えていたクラスで, まだあまり研究が進展していない部分については, 研究をしっかりと進めて行きたい.
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