| 研究課題/領域番号 |
22K03295
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(C)
|
| 配分区分 | 基金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
|
|---|
| 研究機関 | 文教大学 |
|---|
研究代表者 |
佐竹 郁夫 文教大学, 教育学部, 教授 (80243161)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
|
| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
|
| 配分額 *注記 |
3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
|
|---|
| キーワード | フロベニウス多様体 / Coxeter 変換 / 周期 |
|---|
| 研究開始時の研究の概要 |
鏡映群による商空間は、長い研究の歴史を持つ。
近年の弦理論に起源をもつアイデアの１つとして、この商空間はある三角圏の安定性条件の空間と呼ばれる空間から得られる、という見方がある。
この見方からは、商空間のもつ構造（Frobenius 構造）も、三角圏の安定性条件の空間から得られる概念を用いた自然な構成が望ましい。
これについて、特別な場合（有限 Coxeter 群商、楕円 Weyl 群商）に、周期と Coxeter 変換を用いた Frobenius 構造を構成したが、これは上記の意味で望ましい構成の候補となりうると考えている。
この構成の一般化及び構成の幾何学的意味付けを研究している。
|
| 研究実績の概要 |
Landau-Ginzburg モデルに対して得られるフロベニウス多様体、およびその高種数化に関連して、単純楕円型特異点に対するフロベニウス多様体を、その表現論的対応物である楕円ルート系に対するフロベニウス多様体とコクセター変換に基づいて考察した。
有限ルート系に対するフロベニウス多様体の場合には、我々の定義した Good invariant は一意的である。このことは 平坦不変式が一意であることと、Good invariant が平坦不変式と一致することからわかるし、Coxeter 変換とそれに対する固有ベクトルの ambiguity を追跡することでもわかる。
楕円ルート系に対しても、余次元１の場合には Good invariant が平坦不変式と一致することから Good invariant の一意性が得られる。しかし、余次元２以上の場合には Good invariant を定義するデータ（コクセター変換およびコクセター変換で不変なスライス）の取り方の ambiguity が大きいため、 Good invariant が一意であるかどうかは不明だった。これについて、Good invariant が一意でないことを確かめた。証明は、Good invariant のヤコビアンとワイル分母の比が、このデータの取り方に依存して変化することを示すことで得られる。
また、Good invariants を定義する際に用いられる不変式の定義領域に定まる葉層構造を明確化することで Good invariants の定義をより明確なものとした。これらのことは現在修正中の論文 Good basic invariants for elliptic Weyl groups and Frobenius structures に加筆する予定である。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
新型コロナの影響により、授業負担（オンラインと対面の両方）が増え、その影響で研究予定が遅れている。
|
| 今後の研究の推進方策 |
楕円ワイル群不変式の Good invariant の議論から、Jacobi 形式、affine Lie 環の指標や Weyl 分母を Coxeter 変換の固定面に制限したときに
興味深い modular form になることが計算により示せるが、理論的理解のため、Coxeter 変換の固有面を $SL_2(Z)$ 作用や
コンパクト化の立場から研究する。
さらに、$G_2$ 型の楕円ワイル群商には、オイラー作用素を２通りでとることにより、Saito 流と Dubrovin 流の２通りの本質的に異なる
フロベニウス構造が入る。これについて（Good invariant に示唆されるように） Coxeter 変換の固有面での振る舞いを比較することで、
Coxeter 変換の立場からこれらの構造に対する理解を深めたい。
|
