| 研究課題/領域番号 |
22K03298
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 東京電機大学 |
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研究代表者 |
佐藤 正寿 東京電機大学, 未来科学部, 准教授 (10632010)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | ホモロジーシリンダー / LMO関手 / Torelli群 / Johnson準同型 / Goldman-Turaevリー双代数 / Reidemeisterトーション / 写像類群 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
曲面のホモロジーシリンダーと呼ばれる3次元多様体は貼り合わせによってモノイドの構造をもつ。特にこれは曲面の写像類群の拡張とみなすことができる。
本研究の目的は、LMO 関手と呼ばれるホモロジーシリンダーの位相不変量の幾何的意味付けを与えるとともに、ホモロジーシリンダーにおけるY 降下列の構造決定を目指すことにある。また、これを通じて曲面の写像類群の部分群の新しい情報を引き出すことを目指す。
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| 研究実績の概要 |
1. 野崎雄太氏、鈴木正明氏との共同研究として、LMO関手を用いて有向曲面のホモロジーシリンダーのY降下列の次数商を調べた。特に次数6のトーション部分は位数3の元のみからなることがわかった。本研究の内容をまとめてプレプリントを作成中である。
次数商に奇数位数が現れたのは初めてであり重要な結果であると言える。またこの次数商は曲面の写像類群の部分群である、Torelli群の降中心列の次数商と大きく関係しており、その観点からも重要な対象である。なお、LMO関手の以前得られた研究結果について口頭発表2件と集中講義を行った。
2. Gwenael Massuyeau氏、Quentin Faes氏との共同研究として、Torelli群の次数商に関する研究を行った。この次数商に有理数をテンソルしたものはHain、Garoufalidis-Getzler、森田-逆井-鈴木などにより高次まで調べられている。次数商そのものを整係数で調べ、特に次数2の部分を決定した。現在プレプリントを作成中である。
3. 久野雄介氏との共同研究として、Goldman-Turaev Lie双代数を用いたJohnson余核の構成を試みた。Johnson準同型とは、Torelli群の降中心列の次数商から自由Lie代数のシンプレクティック微分Lie代数への準同型であり、この余核を調べた。方針として、シンプレクティック微分Lie代数には、Conantにより構成されたJohnson準同型の余核が知られており、これを幾何的に解釈することを目指している。
また、研究集会「写像類群の部分群のコホモロジーと特殊線型群の表現」を開催し、Dimca-Papadima-HainのJohnson核のアーベル化の研究の紹介として口頭発表を2件行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
昨年度はJohnson準同型の余核の研究について進展が見られなかったが、Goldman-Turaev Lie双代数の次数商の言葉でConantの余核を表せた点で進展があった。
またそれ以外に、ホモロジーシリンダーの次数商の研究、および、Torelli群の降中心列の次数商の研究についても結果としてはほぼまとまりプレプリントを作成中であるため、研究は順調に進展していると考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度中に、ホモロジーシリンダーのY降下列の次数商の研究、および、Torelli群の次数商の研究についてプレプリントを発表したいと考えている。また、まずはJohnson準同型の余核の研究を進めたいと考えている。研究が順調に進展すればLMO関手の2ループ部分の幾何的な意味を調べたいと考えている。
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