| 研究課題/領域番号 |
22K03302
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(C)
|
| 配分区分 | 基金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
|
|---|
| 研究機関 | 同志社大学 |
|---|
研究代表者 |
浅岡 正幸 同志社大学, 理工学部, 教授 (10314832)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
|
| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
|
| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
|
|---|
| キーワード | 双曲力学系 / アノソフ流 / 低次元トポロジー / 接触幾何学 |
|---|
| 研究開始時の研究の概要 |
３次元アノソフ流は力学系理論や低次元トポロジー，葉層理論などにおいて重要な対象である．古典的に知られているもの以外にもFried-Goodman手術とよばれる方法で構成できるものがたくさんあることが知られているが，「すべての３次元アノソフ流が手術によって得られるか」というFriedによる古くからの問題は未解決のままである．本研究課題では，代表者らの最近の結果を踏まえてこの問題の解決を目指す．また，その過程で接触アノソフ流の固有の性質についての理解を深め，力学系理論，接触幾何学の両面への貢献を行いたい．
|
| 研究実績の概要 |
本研究の出発点となった位相推移的な3次元アノソフ流がすべての境界における傾きが正であるようなBirkhoff切断を持つときにはR-coveredになるという結果が，Bonatti，Martyによって同時期に独立に示されていたことが判明したため，彼らの手法と合わせて共著論文という形でまとめ上げた．論文をまとめ上げる過程においてMartyと互いの手法について情報交換をすることでBirkhoff切断に関して新しい知見を得ることが出来た．
この結果を踏まえて，R-coveredな3次元アノソフ流は接触アノソフ流と位相同値であろうというBarbot-Barthelmeの予想の証明にも挑み，有望と思えるアプローチを見つけたが，2023年1月にMartyが予想の肯定的な解決をアナウンスしたため，その後はMartyによるプレプリントの解析を行い，結果の検証とそこで使われている手法の理解に努めた．
また，位相推移的な3次元アノソフ流はGoodman-Fried手術によって代数的なものにすることができるだろうというFriedによる古くからの予想についても研究を行った．その結果，手術によって代数的なものにならないための判定条件をBirkhoff切断と多様体のホモロジーに関する条件として一つ見つけることができた．この条件はBirkhoff切断とその上のモノドロミー写像が記述できれば簡単に確認できるものであり，具体例の候補もいくつかすでに挙がっている．来年度はその具体例に対して計算を行い，この判定条件を当てはめることができるかどうかを確かめたいと考えている．
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
当初計画していた目標の一つはMartyによって解決がアナウンスされてしまったが，最終目標としていた手術で代数的なものにできないアノソフ流の候補とその検証のための道筋が見つかり，来年度中にもこの目標が達成される可能性が出てきた．
|
| 今後の研究の推進方策 |
当初計画していた目標の一つはMartyによって解決がアナウンスされてしまったため，彼のプレプリントの内容を精査し，そこで用いられている手法が他の問題へ適用できるかどうかを見極めたい．
また，最終目標としていた手術で代数的なものにできないアノソフ流の候補とその検証のための道筋が見つかったので，来年度中はまずこの候補が本年度見つけた判定条件をみたすものかどうか確認を最優先に行いたい．
|
