| 研究課題/領域番号 |
22K03303
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 福岡大学 |
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研究代表者 |
成 慶明 福岡大学, 理学部, 教授 (50274577)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2024年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | 部分多様体の幾何学 / 曲率フロー / 最大値原理 / 特異点 / 平均曲率フロー |
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| 研究開始時の研究の概要 |
PerelmanはRicciフローに現れる特異点を研究することによりポアンカレ予想の解決に成功した。このように,曲率フローの研究においてはフローの特異点の幾何構造に関する研究が重要で, 幾何学の中心的研究課題の１つとなっている。
本研究は平均曲率フローの特異点のブルー・アップを表す完備セルフ-シュリンカーの分類に関する研究を行う。さらに, 単位球面内の極小超曲面, 平均曲率が一定の超曲面の分類に関する研究及び重み付き体積保存平均曲率フローのλ-超曲面に関する研究を推進する。本研究は独創性が高く, 学術的にも重要で, 曲率フローの特異点の幾何構造の解明及び幾何学の発展に多いに貢献になると思う。
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| 研究実績の概要 |
研究目的１：平均曲率フローの完備セルフ-シュリンカーの分類に関する研究について, 研究代表者と研究協力者Wei Guoxin教授等はn+1次元Euclid空間内の第２基本形式の長さが一定となる完備セルフ-シュリンカー対して, 第２基本形式の長さに関する第２ギャップ現象を研究し、最適な評価に近い評価を得た。第２基本形式の長さが一定となる完備セルフ-シュリンカーに関する予想の解決に前進した。
研究目的2:単位球面内の極小コンパクト超曲面の分類に関する研究及び平均曲率が一定の完備超曲面の分類に関する研究について，我々はw-平均曲率を定義し、広義最大値原理を用いて、w-平均曲率が一定となる完備な超曲面のスカラー曲率に関する研究を行い、スカラー曲率の下限を評価した。
研究目的3に従い, 重み付き体積保存平均曲率フローのλ-超曲面を研究し、λが負の時、回転対称の超曲面が満たす微分方程式を研究し、それの定数解に近くの解の振る舞いを調べた。それを用いて、標準球面ではない埋め込み微分球面を構成した。この研究成果により、負のλに対して、埋め込みλ-超曲面についてAlexandrov型の定理が期待できないことを示した。
令和５年度国際研究交流の一環として2023年9月第８回日中幾何学研究集会を中国桂林にて開催し、外国研究者と部分多様体の幾何学に関する研究打ち合わせを行った。さらに, 2024年3月平戸市田平町および佐賀大学にて微分幾何学国際研究集会を開催し, 完備セルフ-シュリンカーと重み付き体積保存平均曲率フローの完備λ-超曲面に関する研究打ち合わせを行った。それにより本研究課題を推進するために、重要な役割を果たし、とても有益になった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究では研究課題の研究計画に沿って部分多様体の幾何学に関する研究方法と広義最大値原理を用いて, 平均曲率型のフローに現れる特異点に関する幾何構造に関する研究を順調に推進している。さらに, 研究目的2に従い， 研究代表者と研究協力者Wei Guoxin教授等は単位球面内のn次元スカラー曲率が一定で完備な超曲面を研究し,w-平均曲率を定義し、w-平均曲率が一定となる完備な超曲面のスカラー曲率に関する研究を行い、スカラー曲率の下限を評価した。重み付き体積保存平均曲率フローのλ-超曲面に対して、λが負の時、標準球面ではない埋め込み微分球面を構成した。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和６年度の研究体制は令和５年度の体制と同様である。本研究課題の研究計画に沿って, 令和５年度まで確立した基本的な研究手法を踏まえ, 新しい研究方法を発案する。 それを用いて, これまでの 研究成果に基づき, さらなる研究を行う。 研究代表者は国際研究集会と国内研究集会及びシンポジウムに参加・講演を通じて多方面の研究者と交流することを目指す。研究進展具合を踏まえながら, 次のような計画を考えている。重み付き体積を保つ平均曲率フロー型の完備λ-超曲面に関する研究及び平均曲率フローのセルフ-シュリンカーに関する研究を行う。埋め込みλ-超曲面を具体的に構成する。さらに、香川県高松市にて中国側の組織委員会と第９回日中幾何学研究集会を開催する。
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