研究課題/領域番号 |
22K03308
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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研究機関 | 東京工業大学 |
研究代表者 |
本多 宣博 東京工業大学, 理学院, 教授 (60311809)
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研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2026年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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キーワード | ミニツイスター空間 / Einstein-Weyl多様体 / 有理曲線 / 測地線 / Einstein-Weyl空間 / ミニツイスター直線 |
研究開始時の研究の概要 |
Penrose対応とは、時空の曲がり具合を、複素数を用いた幾何学により記述しようとするものであり、この半世紀で着実に成果をあげてきた。Penrose対応の一種として、3次元時空を2次元の複素幾何学的対象で記述するものがあったが、10年ほど前まではこの対応が機能する対象はごく小数しかなかった。本研究では、2次元の複素幾何学的対象を大量に与えることにより、3次元時空に関する理解を深める。
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研究実績の概要 |
種数1のコンパクトミニツイスター空間のうち、Joyceによる自己双対計量に付随する3次元ツイスター空間から次元簡約により得られるものについて、対応するEinstein-Weyl空間を考察した。これらのミニツイスター空間は4次元複素射影空間内の2つの2次超曲面の完全交叉として得られ、古典的にはセグレ曲面と呼ばれる一連の代数曲面のうちの1つのクラスである。ミニツイスター空間をこのようにとらえたとき、ミニツイスター直線は曲面にちょうど一点で接する超平面による切断として得られる。曲面上に接点を指定したとき、そこで接する超平面はペンシルをなす。このことを用いてミニツイスター直線のなす空間、すなわちミニツイスター空間に対応するEinstein-Weyl空間を調べた。実構造を考えない場合、これはミニツイスター空間の双対多様体のザリスキー開集合となる。上記の3次元ツイスター空間との関連により定まる実構造により不変なミニツイスター直線のなす空間を考察した。これは実なEinstein-Weyl多様体を考えることに相当する。この研究の主結果として、このようにして得られる3次元実Einstein-Weyl多様体は球殻(spherical shell)と微分同相であり、その上の空間的測地線がすべて閉じていることを示した。その際にもっとも非自明な点は、超平面切断として既約なものだけでなく、可約なものもミニツイスター直線として扱えることを示すことにある。これはこれまでのミニツイスター理論においては見出されていなかったとことであり、上記主結果の証明の方法からも重要な事実であると考えられる。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
当該のミニツイスター空間に対応するEinstein-Weyl多様体は当初から考察の対象として予定していたが、それがZoll性をもつことはまったくの予想外であったため。
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今後の研究の推進方策 |
次の3つの方針が考えられる。 ・上記種数1の場合の結果を任意種数の場合に一般化すること ・ミニツイスター空間としてより一般のものを考え、それから得られるEinstein-Weyl空間に対して類似の結果が成立するかを考察すること ・LeBrun-Masonの理論に基づき、今回得られたEinstein-Weyl構造を変形すること
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