| 研究課題/領域番号 |
22K03317
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
蔦谷 充伸 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (80711994)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
2,340千円 (直接経費: 1,800千円、間接経費: 540千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | 高次ホモトピー構造 / ホモトピー正規性 / A無限大空間 / ファイバーワイズホモトピー / 高次ホモトピー正規性 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
初等的な代数学で学ぶように，群の部分群による商は一般には自然な群構造を持たないが，正規部分群による商は自然な群構造を持つ．これはありとあらゆる場面で用いられる極めて基本的な性質であるが，実際には「正規部分群」という仮定を緩めたい場面がしばしばある．本研究では群として位相群をとった場合に，「正規部分群」の条件を「ある程度の摂動を許す」ように条件を緩めたとき，どの程度同じような結果が成り立つかを調べる．特に「ファイバーワイズホモトピー論」という古典的な代数トポロジーの道具で計算可能な世界の問題に帰着させ，種々の計算を実行する．
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| 研究実績の概要 |
出張等の活動については新型コロナウイルス感染症対策での国内外の出張制限が緩和されたため、期間を延長していた他の研究課題に関する活動が主となった。本研究課題に関しても何件かは研究連絡等の出張を行ってはいる。
今年度はホモトピー正規性（N_k(l)-map）に関する論文を完成させ、雑誌Journal of Topologyに掲載された。この論文は正規性の類似であるホモトピー正規性の一種としてN_k(l)-mapを複雑な高次ホモトピー構造を用いて定義し、理論的にも実際の計算においても扱いやすいファイバーワイズホモトピー論を用いた同値な言いかえを与えるものである。主結果については以前の研究課題の最後のほうで得ていたが、リー群のp局所的な正規性の評価を以前に得ていたものより大幅に改善できた。しかし最も基本的なSU(m)->SU(n)の場合ですらN_k(l)-mapかどうかわからない例が多く残っており、今後も検討を続ける必要がある。また、正規部分群による商が群になることの類似については、N_k(k)-mapのホモトピー商がH-空間となるための条件を得た。一方でN_∞(∞)-mapのホモトピー商がA無限大空間となるだろうという予想は、正しくないことが分かった。これはホモトピー正規性として深い高次ホモトピー構造を要請しなければならないことを意味しているので、その方面についても今後も研究する。
同じようにループ空間の構造を扱う話題として、非コンパクト多様体のベクトル場の零点について加藤毅氏、岸本大祐氏と共同研究を行った。特に、非可算無限次元有理ベクトル空間に値をとる指数を定義し、Poincare-Hopfの定理を拡張した。この結果は以前に研究したfinite propagation unitary operatorのなす位相群と関係がありそうであるが、現時点では具体的な関係は不明である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
1年目に計画していた研究内容についてはおおむね達成しているが、一方で当初の予想が間違っていたことも明らかになっている。また、出張等の活動についても新型コロナウイルス感染症の影響で少し遅れている部分がある。
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| 今後の研究の推進方策 |
概要で述べた通り、計算例について検討を進める。現時点で有効な手法は見つかっていないが、古典的なファイバーワイズホモトピー論の手法で計算が進む部分もあると予想され、情報収集を行う。また、ホモトピー商がA無限大空間となるための条件については、より高次のホモトピー構造を導入すれば解決する可能性がある。
また、計画書に記した通り、代数モデルに対する検討も始める。
当初計画していなかった他の関連研究についても、計画に支障のない範囲で適宜進めていく。
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